Usando o teorema dos resíduos, obtenha os resultados \int_{0}^{\infty} \frac{\cos x}{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{\pi}{2 a e^{a}}, \quad(a \geq 0)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral impropriamente definida
I=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x}{x^{2}+a^{2}}\,dx
para a\ge 0. Informação fornecida:
A integral tem integrando \dfrac{\cos x}{x^{2}+a^{2}}.
O parâmetro a aparece no denominador; é indicado a\ge 0.
O que será calculado: o valor numérico de I em função de a. Observação útil (sem resolver ainda): a integral só é convergente no sentido usual quando a>0; se a=0 a integral diverge no redor de x=0. A solução clássica usa métodos de integração complexa (teorema dos resíduos) aplicados a uma função que envolve e^{iz}, e então toma-se a parte real para recuperar a integral com \cos x.
Passo 2
Estratégia (descrita sem resolver ainda): calcular primeiro a integral ao longo de toda a reta real da função complexa f(z)=\dfrac{e^{iz}}{z^{2}+a^{2}}, ou seja
Pontos singulares (pólos): z=ia e z=-ia. Para a>0 o polo z=ia está no semiplano superior e z=-ia está no semiplano inferior. A ideia é integrar f(z) sobre o contorno C_R composto pela reta [-R,R] mais o semicírculo \gamma_R no semiplano superior de raio R, no sentido antihorário, e depois fazer R\to\infty.
Pelo teorema dos resíduos,
\oint_{C_R} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{\text{pólos dentro de }C_R}\operatorname{Res}(f,\text{polo}).
Para R>a o único polo dentro do contorno é z=ia. Portanto
\oint_{C_R} f(z)\,dz = 2\pi i \operatorname{Res}(f,ia).
Passo 4
Calcular a resíduo de f em z=ia. Como é um polo simples, a fórmula é
Comentário didático sobre Jordan: a versão mais refinada mostra decaimento ainda melhor porque e^{-R\sin\theta} fornece fator exponencial para \theta longe de 0,\pi; aqui a estimativa simples com R^{2}-a^{2} já é suficiente para garantir que o integral sobre o semicírculo vai a zero.
Passo 7
Tomando o limite R\to\infty na expressão do Passo 5 e usando que a integral sobre \gamma_R vai a zero, obtemos
Lembrete: essa igualdade foi obtida para a>0 (pois usamos explicitamente que os polos estão fora/ dentro e que R>a e a estimativa exige a finito). Para a=0 a integral original diverge; portanto a fórmula final vale para a>0.
Passo 8
Recuperar I a partir de J. Recordando que J=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{e^{ix}}{x^{2}+a^{2}}\,dx=2I, temos
Para a=0 a integral \int_{0}^{\infty}\dfrac{\cos x}{x^{2}}\,dx não é convergente na vizinhança de x=0, portanto a expressão acima não é aplicável diretamente em a=0.
Resposta
\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\cos x}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{\pi}{2a}e^{-a} (válido para a>0; para a=0 a integral diverge).