Usando o teorema dos resíduos, obtenha os resultados
\int_{0}^{\infty} \frac{\cos x}{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{\pi}{2 a e^{a}}, \quad(a \geq 0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral impropriamente definida
I=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x}{x^{2}+a^{2}}\,dx
para a\ge 0. Informação fornecida:
  • A integral tem integrando \dfrac{\cos x}{x^{2}+a^{2}}.
  • O parâmetro a aparece no denominador; é indicado a\ge 0.
O que será calculado: o valor numérico de I em função de a. Observação útil (sem resolver ainda): a integral só é convergente no sentido usual quando a>0; se a=0 a integral diverge no redor de x=0. A solução clássica usa métodos de integração complexa (teorema dos resíduos) aplicados a uma função que envolve e^{iz}, e então toma-se a parte real para recuperar a integral com \cos x.

Passo 2

Estratégia (descrita sem resolver ainda): calcular primeiro a integral ao longo de toda a reta real da função complexa f(z)=\dfrac{e^{iz}}{z^{2}+a^{2}}, ou seja
J=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x^{2}+a^{2}}\,dx,
porque a parte real de J é exatamente a integral que queremos dobrada. Explicação: para x\in\mathbb{R},
\frac{e^{ix}}{x^{2}+a^{2}}=\frac{\cos x}{x^{2}+a^{2}}+i\frac{\sin x}{x^{2}+a^{2}}.
A função \dfrac{\cos x}{x^{2}+a^{2}} é par e \dfrac{\sin x}{x^{2}+a^{2}} é ímpar, logo
J=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x^{2}+a^{2}}\,dx =2\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x}{x^{2}+a^{2}}\,dx =2I.
Portanto, se calcularmos J por métodos complexos, teremos I=\dfrac{J}{2}.

Passo 3

Aplicar o teorema dos resíduos: considere a função complexa
f(z)=\frac{e^{iz}}{z^{2}+a^{2}}=\frac{e^{iz}}{(z-ia)(z+ia)}.
Pontos singulares (pólos): z=ia e z=-ia. Para a>0 o polo z=ia está no semiplano superior e z=-ia está no semiplano inferior. A ideia é integrar f(z) sobre o contorno C_R composto pela reta [-R,R] mais o semicírculo \gamma_R no semiplano superior de raio R, no sentido antihorário, e depois fazer R\to\infty.
Pelo teorema dos resíduos,
\oint_{C_R} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{\text{pólos dentro de }C_R}\operatorname{Res}(f,\text{polo}).ó
Para R>a o único polo dentro do contorno é z=ia. Portanto
\oint_{C_R} f(z)\,dz = 2\pi i \operatorname{Res}(f,ia).

Passo 4

Calcular a resíduo de f em z=ia. Como é um polo simples, a fórmula é
\operatorname{Res}(f,ia)=\lim_{z\to ia} (z-ia)\frac{e^{iz}}{(z-ia)(z+ia)}=\lim_{z\to ia}\frac{e^{iz}}{z+ia}.
Avaliando em z=ia:
\operatorname{Res}(f,ia)=\frac{e^{i(ia)}}{ia+ia}=\frac{e^{-a}}{2ia}.
Explicando: e^{i(ia)}=e^{-a} porque i\cdot ia=-a; o denominador é 2ia.
Então, pelo teorema dos resíduos,
\oint_{C_R} f(z)\,dz = 2\pi i\cdot\frac{e^{-a}}{2ia}=\frac{\pi e^{-a}}{a}.

Passo 5

Separar a integral no contorno em duas partes:
\oint_{C_R} f(z)\,dz = \int_{-R}^{R}\frac{e^{ix}}{x^{2}+a^{2}}\,dx + \int_{\gamma_R}\frac{e^{iz}}{z^{2}+a^{2}}\,dz.
A primeira parte é a integral ao longo da reta real de -R a R, a segunda é sobre o semicírculo \gamma_R. Portanto
\int_{-R}^{R}\frac{e^{ix}}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{\pi e^{-a}}{a} - \int_{\gamma_R}\frac{e^{iz}}{z^{2}+a^{2}}\,dz.

Passo 6

Mostrar que o integral sobre o semicírculo \gamma_R tende a zero quando R\to\infty. Uso de um lema padrão (Lema de Jordan) + estimativa:
No semicírculo superior parametrizado por z=R e^{i\theta} com \theta\in[0,\pi],
|e^{iz}|=|e^{iR\cos\theta}e^{-R\sin\theta}|=e^{-R\sin\theta}\le 1,
e além disso |z^{2}+a^{2}|\ge R^{2}-a^{2} para R>a. Pelo lema de estimativa (desigualdade ML),
\left|\int_{\gamma_R}\frac{e^{iz}}{z^{2}+a^{2}}\,dz\right| \le \text{(comprimento de }\gamma_R)\cdot\max_{z\in\gamma_R}\left|\frac{e^{iz}}{z^{2}+a^{2}}\right| \le \pi R\cdot\frac{1}{R^{2}-a^{2}}.
O lado direito tende a 0 quando R\to\infty porque \dfrac{\pi R}{R^{2}-a^{2}}=O(1/R)\to 0. Portanto
\lim_{R\to\infty}\int_{\gamma_R}\frac{e^{iz}}{z^{2}+a^{2}}\,dz=0.
Comentário didático sobre Jordan: a versão mais refinada mostra decaimento ainda melhor porque e^{-R\sin\theta} fornece fator exponencial para \theta longe de 0,\pi; aqui a estimativa simples com R^{2}-a^{2} já é suficiente para garantir que o integral sobre o semicírculo vai a zero.

Passo 7

Tomando o limite R\to\infty na expressão do Passo 5 e usando que a integral sobre \gamma_R vai a zero, obtemos
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{\pi e^{-a}}{a}.
Lembrete: essa igualdade foi obtida para a>0 (pois usamos explicitamente que os polos estão fora/ dentro e que R>a e a estimativa exige a finito). Para a=0 a integral original diverge; portanto a fórmula final vale para a>0.

Passo 8

Recuperar I a partir de J. Recordando que J=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{e^{ix}}{x^{2}+a^{2}}\,dx=2I, temos
2I=\frac{\pi e^{-a}}{a}\quad\Longrightarrow\quad I=\frac{\pi}{2a}e^{-a}.

Passo 9

Interpretação final e observação sobre a=0:
  • Para a>0 a integral converge e o resultado é
\boxed{\,\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{\pi}{2a}e^{-a}\,.}
  • Para a=0 a integral \int_{0}^{\infty}\dfrac{\cos x}{x^{2}}\,dx não é convergente na vizinhança de x=0, portanto a expressão acima não é aplicável diretamente em a=0.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\cos x}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{\pi}{2a}e^{-a} (válido para a>0; para a=0 a integral diverge).

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