Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função é definida para
. A tarefa é encontrar
, ou seja, a função de
obtida pela transformada de Laplace.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (a fórmula que vamos usar):
Aqui:
-
é a variável de tempo (a variável de integração); -
é uma variável complexa (normalmente ); - a integral converge tipicamente para valores de
com quando é limitada por exponenciais; depois veremos a condição específica para o nosso caso.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso
, escrevemos a integral que devemos calcular:
Para que a integral impropria faça sentido como está, precisamos de
(assim
decai quando
). Vamos assumir
durante os cálculos e anotar isso no final.
Passo 4
Método escolhido: integração por partes duas vezes. Vou explicar a fórmula de integração por partes e aplicá-la passo a passo.
Fórmula de integração por partes: se e
, então
Fórmula de integração por partes: se
Escolha 1 (primeira integração por partes):
Calculamos:
Aplicando a fórmula:
Agora avaliamos o termo de fronteira: para
,
quando
, e
é limitada, então o termo em
é
. No limite em
temos
, logo o termo de fronteira dá
. Portanto resta:
Denotamos
então obtivemos
.
Passo 5
Agora calculamos
por integração por partes também. Repetimos a fórmula:
Escolha 2:
Escolha 2:
Então
Aplicando integração por partes:
Avaliação do termo de fronteira: para
o termo em
é
; em
temos
. Como o limite superior menos o inferior dá
, temos
Mas a integral que aparece é exatamente
. Portanto
Passo 6
Agora temos um sistema simples em
e
:
Substituímos
da segunda equação na primeira:
Desenvolvendo:
Agrupando termos com
:
Colocando sobre o mesmo denominador:
Logo
Esse é o valor da transformada de Laplace. Observação: esse resultado exige
para que as integrais improprias converjam; portanto a região de convergência é
.
Passo 7
Comentário didático final e fórmula geral: o procedimento acima é o caminho padrão por integração por partes. Existe também uma fórmula conhecida e útil que pode ser decorada e aplicada diretamente em provas:
para
. No nosso caso
, recuperando o resultado já obtido.