Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=\sin (4 t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função f(t)=\sin(4t).
Informações dadas: a função é f(t)=\sin(4t) definida para t\ge 0. A tarefa é encontrar \mathcal{L}\{f\}(s), ou seja, a função de s obtida pela transformada de Laplace.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (a fórmula que vamos usar):
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Aqui:
  • t é a variável de tempo (a variável de integração);
  • s é uma variável complexa (normalmente s=\sigma+ i\omega);
  • a integral converge tipicamente para valores de s com \Re(s)>0 quando f é limitada por exponenciais; depois veremos a condição específica para o nosso caso.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso f(t)=\sin(4t), escrevemos a integral que devemos calcular:
I(s)=\mathcal{L}\{\sin(4t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(4t)\,dt.
Para que a integral impropria faça sentido como está, precisamos de \Re(s)>0 (assim e^{-st} decai quando t\to\infty). Vamos assumir \Re(s)>0 durante os cálculos e anotar isso no final.

Passo 4

Método escolhido: integração por partes duas vezes. Vou explicar a fórmula de integração por partes e aplicá-la passo a passo.
Fórmula de integração por partes: se u=u(t) e dv=dv(t), então
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolha 1 (primeira integração por partes):
u=\sin(4t),\qquad dv=e^{-st}\,dt.
Calculamos:
du=4\cos(4t)\,dt,\qquad v=\int e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-st}.
Aplicando a fórmula:
I(s)=\left[ -\frac{1}{s}e^{-st}\sin(4t)\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\cdot 4\cos(4t)\,dt.
Agora avaliamos o termo de fronteira: para \Re(s)>0, e^{-st}\to 0 quando t\to\infty, e \sin(4t) é limitada, então o termo em \infty é 0. No limite em t=0 temos \sin(0)=0, logo o termo de fronteira dá 0. Portanto resta:
I(s)=\frac{4}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(4t)\,dt.
Denotamos
J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(4t)\,dt,
então obtivemos I(s)=\dfrac{4}{s}J(s).

Passo 5

Agora calculamos J(s) por integração por partes também. Repetimos a fórmula:
Escolha 2:
u=\cos(4t),\qquad dv=e^{-st}\,dt.
Então
du=-4\sin(4t)\,dt,\qquad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.
Aplicando integração por partes:
J(s)=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\cos(4t)\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\cdot(-4\sin(4t))\,dt.
Avaliação do termo de fronteira: para \Re(s)>0 o termo em \infty é 0; em t=0 temos -\dfrac{1}{s}\cos(0)=-\dfrac{1}{s}. Como o limite superior menos o inferior dá 0-(-1/s)=1/s, temos
J(s)=\frac{1}{s} - \frac{4}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(4t)\,dt.
Mas a integral que aparece é exatamente I(s). Portanto
J(s)=\frac{1}{s} - \frac{4}{s}I(s).

Passo 6

Agora temos um sistema simples em I(s) e J(s):
I(s)=\frac{4}{s}J(s),
J(s)=\frac{1}{s}-\frac{4}{s}I(s).
Substituímos J(s) da segunda equação na primeira:
I(s)=\frac{4}{s}\left(\frac{1}{s}-\frac{4}{s}I(s)\right).
Desenvolvendo:
I(s)=\frac{4}{s^2}-\frac{16}{s^2}I(s).
Agrupando termos com I(s):
I(s)\left(1+\frac{16}{s^2}\right)=\frac{4}{s^2}.
Colocando sobre o mesmo denominador:
I(s)\cdot\frac{s^2+16}{s^2}=\frac{4}{s^2}.
Logo
I(s)=\frac{4}{s^2+16}.
Esse é o valor da transformada de Laplace. Observação: esse resultado exige \Re(s)>0 para que as integrais improprias converjam; portanto a região de convergência é \Re(s)>0.

Passo 7

Comentário didático final e fórmula geral: o procedimento acima é o caminho padrão por integração por partes. Existe também uma fórmula conhecida e útil que pode ser decorada e aplicada diretamente em provas:
\mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},
para \Re(s)>0. No nosso caso a=4, recuperando o resultado já obtido.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{s^{2}+16}

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