Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função é definida para
(uso padrão na transformada de Laplace).
O que se espera como resultado: uma expressão em termos de que representa
e a região de convergência em
.
Informações dadas: a função é
O que se espera como resultado: uma expressão em termos de
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (a fórmula que vamos usar). A transformada de Laplace de uma função
é definida por
Aqui
é a variável temporal (real,
),
é a variável complexa da transformada, e a integral existe quando a expressão converge (isso dá a região de convergência em
).
Passo 3
Usamos uma identidade que torna a integral fácil: a função cosseno hiperbólico pode ser escrita com exponenciais. A definição é
Explicação rápida:
é definida como
, então basta trocar
por
.
Passo 4
Aplicamos a linearidade da transformada de Laplace (a transformada é linear:
). Assim
Passo 5
Calcular
é padrão: pela definição,
Essa integral converge quando
. Para
temos
Portanto
Passo 6
Aplicando este resultado aos dois termos:
- Para
: , exigindo . - Para
: , exigindo .
Como a transformada de
envolve ambos os termos, precisamos da interseção das regiões de convergência, isto é
.
Substituindo na expressão do Passo 4:
Passo 7
Fazer a soma das frações e simplificar:
Mantendo a condição de convergência obtida:
.