Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=\operatorname{cosh} (3 t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função f(t)=\operatorname{cosh}(3t).
Informações dadas: a função é \operatorname{cosh}(3t) definida para t\ge 0 (uso padrão na transformada de Laplace).
O que se espera como resultado: uma expressão em termos de s que representa \mathcal{L}\{f\}(s) e a região de convergência em s.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (a fórmula que vamos usar). A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
Aqui t é a variável temporal (real, t\ge 0), s é a variável complexa da transformada, e a integral existe quando a expressão converge (isso dá a região de convergência em s).

Passo 3

Usamos uma identidade que torna a integral fácil: a função cosseno hiperbólico pode ser escrita com exponenciais. A definição é
\operatorname{cosh}(3t)=\frac{e^{3t}+e^{-3t}}{2}.
Explicação rápida: \operatorname{cosh}(x) é definida como (e^{x}+e^{-x})/2, então basta trocar x por 3t.

Passo 4

Aplicamos a linearidade da transformada de Laplace (a transformada é linear: \mathcal{L}\{a g + b h\}=a\mathcal{L}\{g\}+b\mathcal{L}\{h\}). Assim
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(3t)\}(s) =\mathcal{L}\!\left\{\frac{e^{3t}+e^{-3t}}{2}\right\}(s) =\frac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{3t}\}(s)+\frac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{-3t}\}(s).

Passo 5

Calcular \mathcal{L}\{e^{a t}\}(s) é padrão: pela definição,
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{a t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt.
Essa integral converge quando \operatorname{Re}(s-a)>0. Para \operatorname{Re}(s-a)>0 temos
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-a}.
Portanto
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\frac{1}{s-a},\qquad \text{para }\operatorname{Re}(s)> \operatorname{Re}(a).

Passo 6

Aplicando este resultado aos dois termos:
  • Para a=3: \mathcal{L}\{e^{3t}\}(s)=\dfrac{1}{s-3}, exigindo \operatorname{Re}(s)>3.
  • Para a=-3: \mathcal{L}\{e^{-3t}\}(s)=\dfrac{1}{s+3}, exigindo \operatorname{Re}(s)>-3.
Como a transformada de \operatorname{cosh}(3t) envolve ambos os termos, precisamos da interseção das regiões de convergência, isto é \operatorname{Re}(s)>3.
Substituindo na expressão do Passo 4:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(3t)\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-3}+\frac{1}{s+3}\right).

Passo 7

Fazer a soma das frações e simplificar:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-3}+\frac{1}{s+3}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+3)+(s-3)}{(s-3)(s+3)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2s}{s^{2}-9} =\frac{s}{s^{2}-9}.
Mantendo a condição de convergência obtida: \operatorname{Re}(s)>3.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(3t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}-9},\quad \operatorname{Re}(s)>3

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