Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
g(t)=\cos (4 t)+2 \sin (4 t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função g(t)=\cos(4t)+2\sin(4t).
Informações dadas:
g(t)=\cos(4t)+2\sin(4t),\quad t\ge 0.
O objetivo é encontrar \mathcal{L}\{g(t)\}, ou seja, a função de s definida por essa transformada.

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e uma propriedade essencial que vou usar: linearidade.
Definição:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa que aparece na transformada e a integral só converge para certos valores de \Re(s) (vamos comentar isso depois).
Propriedade de linearidade (muito útil e simples):
\mathcal{L}\{a f(t)+b h(t)\}=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}+b\,\mathcal{L}\{h(t)\},
para constantes a,b. Aqui usaremos isso para separar \cos(4t) e 2\sin(4t).

Passo 3

Vamos calcular separadamente
I_c=\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(at)\,dt
para a>0. No nosso caso a=4, mas é bom fazer a conta geral.
Cálculo de I_c por integração por partes (duas vezes). Primeiro, faça:
I_c=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(at)\,dt.
Escolha u=\cos(at) (então du=-a\sin(at)\,dt) e dv=e^{-st}\,dt (então v=-\dfrac{e^{-st}}{s}). Pela fórmula de integração por partes,
I_c=\left[-\frac{e^{-st}\cos(at)}{s}\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{e^{-st}}{s}\right)\left(-a\sin(at)\right)\,dt.
Simplificando o sinal do integrando obtemos
I_c=\left[-\frac{e^{-st}\cos(at)}{s}\right]_{0}^{\infty}-\frac{a}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt.
Denotando
I_s=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt,
temos a relação
I_c=\left[-\frac{e^{-st}\cos(at)}{s}\right]_{0}^{\infty}-\frac{a}{s}I_s.

Passo 4

Agora calcule I_s por integração por partes também. Comece com
I_s=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt.
Escolha u=\sin(at) (então du=a\cos(at)\,dt) e dv=e^{-st}\,dt (então v=-\dfrac{e^{-st}}{s}). Pela integração por partes,
I_s=\left[-\frac{e^{-st}\sin(at)}{s}\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{e^{-st}}{s}\right)\left(a\cos(at)\right)\,dt.
O termo de contorno é zero porque \sin(0)=0 e e^{-st} anula a contribuição no infinito quando \Re(s)>0. Então
I_s=\frac{a}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(at)\,dt=\frac{a}{s}I_c.

Passo 5

Substitua I_s=\dfrac{a}{s}I_c na relação encontrada para I_c:
I_c=\left[-\frac{e^{-st}\cos(at)}{s}\right]_{0}^{\infty}-\frac{a}{s}\cdot\frac{a}{s}I_c.
Avalie o termo de contorno:
\left[-\frac{e^{-st}\cos(at)}{s}\right]_{0}^{\infty}=0-\left(-\frac{1\cdot\cos(0)}{s}\right)=\frac{1}{s},
desde que \Re(s)>0. Assim:
I_c=\frac{1}{s}-\frac{a^{2}}{s^{2}}I_c.
Rearranjando:
\left(s^{2}+a^{2}\right)I_c=s,
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I_c=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 6

Usando a relação I_s=\dfrac{a}{s}I_c e a expressão de I_c, obtemos
I_s=\frac{a}{s}\cdot\frac{s}{s^{2}+a^{2}}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Portanto, as fórmulas gerais (válidas para \Re(s)>0) são:
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 7

Agora aplique isso ao caso concreto a=4. Temos
\mathcal{L}\{\cos(4t)\}=\frac{s}{s^{2}+16}, \qquad \mathcal{L}\{\sin(4t)\}=\frac{4}{s^{2}+16}.
Pela linearidade,
\mathcal{L}\{g(t)\}=\mathcal{L}\{\cos(4t)+2\sin(4t)\} =\mathcal{L}\{\cos(4t)\}+2\mathcal{L}\{\sin(4t)\}.
Substituindo:
\mathcal{L}\{g(t)\}=\frac{s}{s^{2}+16}+2\cdot\frac{4}{s^{2}+16}.

Passo 8

Some as frações (mesmo denominador s^{2}+16):
\mathcal{L}\{g(t)\}=\frac{s+8}{s^{2}+16}.
Lembre que essa expressão é válida para \Re(s)>0, condição necessária para a convergência das integrais usadas.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{g(t)\}=\frac{s+8}{s^{2}+16} (válido para \Re(s)>0)

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