Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
O objetivo é encontrar
, ou seja, a função de
definida por essa transformada.
Passo 2
Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e uma propriedade essencial que vou usar: linearidade.
Definição:
onde
é a variável complexa que aparece na transformada e a integral só converge para certos valores de
(vamos comentar isso depois).
Propriedade de linearidade (muito útil e simples):
para constantes
. Aqui usaremos isso para separar
e
.
Passo 3
Vamos calcular separadamente
para
. No nosso caso
, mas é bom fazer a conta geral.
Cálculo de
por integração por partes (duas vezes). Primeiro, faça:
Escolha
(então
) e
(então
). Pela fórmula de integração por partes,
Simplificando o sinal do integrando obtemos
Denotando
temos a relação
Passo 4
Agora calcule
por integração por partes também. Comece com
Escolha
(então
) e
(então
). Pela integração por partes,
O termo de contorno é zero porque
e
anula a contribuição no infinito quando
. Então
Passo 5
Substitua
na relação encontrada para
:
Avalie o termo de contorno:
desde que
. Assim:
Rearranjando:
logo
Passo 6
Usando a relação
e a expressão de
, obtemos
Portanto, as fórmulas gerais (válidas para
) são:
Passo 7
Agora aplique isso ao caso concreto
. Temos
Pela linearidade,
Substituindo:
Passo 8
Some as frações (mesmo denominador
):
Lembre que essa expressão é válida para
, condição necessária para a convergência das integrais usadas.