Use a Transformada de Laplace para resolver:
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=3 x(t)+4 y(t), \\\ y^{\prime}(t)=-4 x(t)+3 y(t), \end{array} \quad x(0)=2, y(0)=0 .\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais com condições iniciais e encontrar as funções x(t) e y(t). As informações dadas são:
\begin{cases} x^{\prime}(t)=3 x(t)+4 y(t),\\[4pt] y^{\prime}(t)=-4 x(t)+3 y(t), \end{cases} \qquad x(0)=2,\; y(0)=0.]

Passo 2

Breve aula sobre a Transformada de Laplace e propriedades que vamos usar (do jeito mais prático possível).
\text{A transformada de Laplace de uma função }f(t)\text{ é }F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.çãé
Propriedades importantes que usaremos:
  1. Linearidade:
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
  1. Transformada da derivada (essencial para transformar EDOs):
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e f(0) é a condição inicial.
3) Formas-padrão úteis (deslocamento exponencial):
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2},\qquad \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^2+b^2}.
Essas fórmulas nos permitem identificar facilmente a inversa quando aparecerem expressões do tipo \dfrac{s-a}{(s-a)^2+b^2} ou \dfrac{b}{(s-a)^2+b^2}.

Passo 3

Aplicar a Transformada de Laplace às duas equações do sistema. Denotemos
X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\},\qquad Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
Usando \mathcal{L}\{x'(t)\}=sX(s)-x(0) e \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), transformamos cada equação:
Para a primeira equação \;x'(t)=3x(t)+4y(t):
sX(s)-x(0)=3X(s)+4Y(s).
Para a segunda \;y'(t)=-4x(t)+3y(t):
sY(s)-y(0)=-4X(s)+3Y(s).
Agora substituímos as condições iniciais x(0)=2 e y(0)=0.

Passo 4

Escrever o sistema algébrico em s com os valores iniciais:
Da primeira equação:
sX(s)-2=3X(s)+4Y(s)\quad\Longrightarrow\quad (s-3)X(s)-4Y(s)=2.
Da segunda equação:
sY(s)-0=-4X(s)+3Y(s)\quad\Longrightarrow\quad 4X(s)+(s-3)Y(s)=0.
Temos, portanto, o sistema linear em X(s) e Y(s):
\begin{cases} (s-3)X(s)-4Y(s)=2,\\[4pt] 4X(s)+(s-3)Y(s)=0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema algébrico para X(s) e Y(s). A partir da segunda equação:
4X(s)=-(s-3)Y(s)\quad\Longrightarrow\quad X(s)=-\frac{s-3}{4}\,Y(s).
Substituímos isso na primeira equação:
(s-3)\left(-\frac{s-3}{4}Y(s)\right)-4Y(s)=2.
Simplificamos passo a passo:
-\frac{(s-3)^2}{4}Y(s)-4Y(s)=2.
Colocando em denominador comum 4:
-\frac{(s-3)^2+16}{4}Y(s)=2.
Multiplicando ambos os lados por -4:
\big((s-3)^2+16\big)Y(s)=-8.
Portanto,
Y(s)=-\frac{8}{(s-3)^2+16}.
Agora retornamos a X(s) usando X(s)=-\dfrac{s-3}{4}Y(s):
X(s)=-\frac{s-3}{4}\left(-\frac{8}{(s-3)^2+16}\right) =\frac{2(s-3)}{(s-3)^2+16}.

Passo 6

Interpretar X(s) e Y(s) com as fórmulas-padrão para inverter a transformada. Temos:
X(s)=\frac{2(s-3)}{(s-3)^2+4^2},\qquad Y(s)=-\frac{8}{(s-3)^2+4^2}.
Compare com as fórmulas:
\mathcal{L}\{e^{3t}\cos(4t)\}=\frac{s-3}{(s-3)^2+4^2},\qquad \mathcal{L}\{e^{3t}\sin(4t)\}=\frac{4}{(s-3)^2+4^2}.
Assim:
X(s)=2\cdot\frac{s-3}{(s-3)^2+4^2} = \mathcal{L}\{2e^{3t}\cos(4t)\},
e
Y(s)=-\frac{8}{(s-3)^2+4^2}=-2\cdot\frac{4}{(s-3)^2+4^2} = \mathcal{L}\{-2e^{3t}\sin(4t)\}.

Passo 7

Fazer a inversa das transformadas e escrever as soluções no tempo. Pela correspondência acima:
x(t)=2e^{3t}\cos(4t), \qquad y(t)=-2e^{3t}\sin(4t).
Vou checar rapidamente as condições iniciais: em t=0,
x(0)=2e^{0}\cos(0)=2\cdot1\cdot1=2, \qquad y(0)=-2e^{0}\sin(0)=-2\cdot1\cdot0=0,
conferindo com as condições dadas.

Resposta

x(t)=2e^{3t}\cos(4t)
y(t)=-2e^{3t}\sin(4t)

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