Use a Transformada de Laplace para resolver:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais com condições iniciais e encontrar as funções
e
. As informações dadas são:
Passo 2
Breve aula sobre a Transformada de Laplace e propriedades que vamos usar (do jeito mais prático possível).
Propriedades importantes que usaremos:
- Linearidade:
- Transformada da derivada (essencial para transformar EDOs):
onde
e
é a condição inicial.
3) Formas-padrão úteis (deslocamento exponencial):
3) Formas-padrão úteis (deslocamento exponencial):
Essas fórmulas nos permitem identificar facilmente a inversa quando aparecerem expressões do tipo
ou
.
Passo 3
Aplicar a Transformada de Laplace às duas equações do sistema. Denotemos
Usando
e
, transformamos cada equação:
Para a primeira equação
:
Para a segunda
:
Agora substituímos as condições iniciais
e
.
Passo 4
Escrever o sistema algébrico em
com os valores iniciais:
Da primeira equação:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Temos, portanto, o sistema linear em
e
:
Passo 5
Resolver o sistema algébrico para
e
. A partir da segunda equação:
Substituímos isso na primeira equação:
Simplificamos passo a passo:
Colocando em denominador comum
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Portanto,
Agora retornamos a
usando
:
Passo 6
Interpretar
e
com as fórmulas-padrão para inverter a transformada. Temos:
Compare com as fórmulas:
Assim:
e
Passo 7
Fazer a inversa das transformadas e escrever as soluções no tempo. Pela correspondência acima:
Vou checar rapidamente as condições iniciais: em
,
conferindo com as condições dadas.