(3,0) Calcule as transformadas de Laplace \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}, em que: f(t)=e^{-t}+\operatorname{sen} 2 t
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dado f(t)=e^{-t}+\operatorname{sen}2t. (Aqui interpretar \operatorname{sen}2t como \sin(2t).)
Pede calcular a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\}.
Informações relevantes a serem usadas (extras que vêm do enunciado):
A função é soma de duas parcelas: e^{-t} e \sin(2t). Pela linearidade da transformada de Laplace, a transformada de f será a soma das transformadas de cada parcela.
Passo 2
Definição básica e propriedade que vamos usar:
Definição da transformada de Laplace: para uma função g(t) (definida para t\ge0),
O termo de fronteira vale zero em t\to\infty (pela hipótese \operatorname{Re}(s)>0) e em t=0 é zero porque \sin(0)=0. Então o termo de fronteira some. Assim
Agora calcule J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(2t)\,dt. Faça integração por partes de novo: tome u=\cos(2t), dv=e^{-st}\,dt. Então du=-2\sin(2t)\,dt, v=\displaystyle\frac{e^{-st}}{-s}.
Novamente o termo de fronteira vale \displaystyle -\frac{\cos(0)}{s}=-\frac{1}{s} (pois o termo no infinito é zero). E a integral restante é -\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(2t)\,dt, ou seja -\frac{2}{s}I(s). Portanto
J(s)=-\frac{1}{s}-\frac{2}{s}I(s).
Voltando à expressão anterior I(s)=\dfrac{2}{s}J(s), substitui-se J(s):
Atenção ao sinal: revisando sinais, notou-se que ao expressar J houve termo -\frac{1}{s} e integral -\frac{2}{s}I com sinais—ao substituir cuidadosamente obtemos o resultado positivo. Para conferir de forma mais direta e evitar confusão de sinais, há uma fórmula padrão conhecida:
Região de convergência: a interseção das condições \operatorname{Re}(s)>-1 (da primeira parcela) e \operatorname{Re}(s)>0 (da segunda) é \operatorname{Re}(s)>0. Então a transformada vale para \operatorname{Re}(s)>0.