(3,0) Calcule as transformadas de Laplace \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}, em que:
f(t)=t^{3}+2 t+2 e^{t}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\} da função
f(t)=t^{3}+2t+2e^{t}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função f(t) é a soma de três termos: t^{3}, 2t e 2e^{t}.
  • Pede-se \mathcal{L}\{f(t)\}=\displaystyle\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt em termos de s.
  • É relevante indicar também a região de convergência (valores de s para os quais as integrais convergem).

Passo 2

Usar a linearidade da transformada de Laplace: a transformada é linear, isto é, para quaisquer funções g(t) e h(t) e constantes a,b vale
\mathcal{L}\{a\,g(t)+b\,h(t)\}=a\,\mathcal{L}\{g(t)\}+b\,\mathcal{L}\{h(t)\}.
Aplicando isso a f(t) obtemos
\mathcal{L}\{f(t)\}=\mathcal{L}\{t^{3}\}+2\,\mathcal{L}\{t\}+2\,\mathcal{L}\{e^{t}\}.
Agora vamos calcular cada uma dessas três transformadas separadamente.

Passo 3

Cálculo de \mathcal{L}\{t^{3}\} por integração por partes. Definição:
\mathcal{L}\{t^{3}\}=\int_{0}^{\infty} t^{3} e^{-st}\,dt.
Fazer integração por partes três vezes. Primeira integração por partes: escolha u=t^{3}, dv=e^{-st}dt. Então du=3t^{2}dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
\int_{0}^{\infty} t^{3} e^{-st}dt=\left[-\frac{t^{3}}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}+\frac{3}{s}\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}dt.
O termo de fronteira \left[-\dfrac{t^{3}}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}=0 para s>0 porque a exponencial domina o polinômio. Logo
\mathcal{L}\{t^{3}\}=\frac{3}{s}\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}dt.
Agora aplicar integração por partes para \int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}dt (mesmo procedimento): escolher u=t^{2}, dv=e^{-st}dt
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}dt=\left[-\frac{t^{2}}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}+\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt=\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt.
Mais uma vez o termo de fronteira é zero para s>0. Substituindo de volta:
\mathcal{L}\{t^{3}\}=\frac{3}{s}\cdot\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt=\frac{6}{s^{2}}\int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt.
Finalmente, calcule \int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt por integração por partes (ou lembrar a fórmula para t^{1}). Com u=t, dv=e^{-st}dt vem
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt=\left[-\frac{t}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}dt=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}},
pois \int_{0}^{\infty} e^{-st}dt=\dfrac{1}{s} para s>0. Assim
\mathcal{L}\{t^{3}\}=\frac{6}{s^{2}}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{6}{s^{4}}.

Passo 4

Observação geral (fórmula útil para provas): para inteiro não negativo n vale
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}\quad\text{para }s>0.
No caso n=3 isso dá \dfrac{3!}{s^{4}}=\dfrac{6}{s^{4}}, que coincide com o cálculo do passo anterior.

Passo 5

Cálculo de \mathcal{L}\{2t\}. Usando linearidade e a fórmula para t^{1}:
\mathcal{L}\{t\}=\frac{1!}{s^{2}}=\frac{1}{s^{2}}\quad\text{(para }s>0\text{)}.
Portanto
2\,\mathcal{L}\{t\}=2\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{2}}.

Passo 6

Cálculo de \mathcal{L}\{2e^{t}\}. Fórmula padrão: para constante a tem-se
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\quad\text{para }\operatorname{Re}(s)>a.
Aqui a=1, então
\mathcal{L}\{e^{t}\}=\frac{1}{s-1}\quad\text{para }\operatorname{Re}(s)>1.
Multiplicando por 2 obtemos
2\,\mathcal{L}\{e^{t}\}=\frac{2}{s-1}.

Passo 7

Juntando os três termos calculados via linearidade (Passo 2):
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{6}{s^{4}}+\frac{2}{s^{2}}+\frac{2}{s-1}.
Região de convergência: os termos polinomiais exigem s>0, o termo exponencial exige \operatorname{Re}(s)>1. A interseção é \operatorname{Re}(s)>1, portanto a transformada é válida para s>1.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{6}{s^{4}}+\frac{2}{s^{2}}+\frac{2}{s-1} para \operatorname{Re}(s)>1.

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