Calcule as transformadas de Laplace
, em que:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace
da função
Informações dadas e o que é pedido:
- A função
é a soma de três termos: , e . - Pede-se
em termos de . - É relevante indicar também a região de convergência (valores de
para os quais as integrais convergem).
Passo 2
Usar a linearidade da transformada de Laplace: a transformada é linear, isto é, para quaisquer funções
e
e constantes
vale
Aplicando isso a
obtemos
Agora vamos calcular cada uma dessas três transformadas separadamente.
Passo 3
Cálculo de
por integração por partes. Definição:
Fazer integração por partes três vezes. Primeira integração por partes: escolha
,
. Então
e
. Assim
O termo de fronteira
para
porque a exponencial domina o polinômio. Logo
Agora aplicar integração por partes para
(mesmo procedimento): escolher
,
dá
Mais uma vez o termo de fronteira é zero para
. Substituindo de volta:
Finalmente, calcule
por integração por partes (ou lembrar a fórmula para
). Com
,
vem
pois
para
. Assim
Passo 4
Observação geral (fórmula útil para provas): para inteiro não negativo
vale
No caso
isso dá
, que coincide com o cálculo do passo anterior.
Passo 5
Cálculo de
. Usando linearidade e a fórmula para
:
Portanto
Passo 6
Cálculo de
. Fórmula padrão: para constante
tem-se
Aqui
, então
Multiplicando por
obtemos
Passo 7
Juntando os três termos calculados via linearidade (Passo 2):
Região de convergência: os termos polinomiais exigem
, o termo exponencial exige
. A interseção é
, portanto a transformada é válida para
.