Calcule as transformadas de Laplace.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace de
.
Informações dadas: temos a função para
e queremos
.
Pergunta clara: encontrar uma expressão em para
, indicando a condição de convergência em
.
Informações dadas: temos a função
Pergunta clara: encontrar uma expressão em
Passo 2
Recordando a definição e propriedade que vamos usar: a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é uma variável complexa e a integral converge, tipicamente, para
suficientemente grande.
Uma propriedade fundamental e simples que usaremos é a linearidade:
Uma propriedade fundamental e simples que usaremos é a linearidade:
para constantes
.
Passo 3
Escolha do método: para transformar o produto
é prático usar identidades trigonométricas que transformam o produto em soma de funções cuja transformada é conhecida. Outra opção seria escrever as funções trigonométricas em exponenciais complexas; ambas funcionam, mas a identidade produto-para-soma costuma ser mais direta aqui. Vamos usá-la.
Passo 4
A identidade produto-para-soma que precisamos é
Breve justificativa (útil saber na prova): usando
e somando as duas igualdades obtemos
, daí a identidade acima.
Passo 5
Aplicando a identidade ao nosso caso com
e
:
pois
e
.
Passo 6
Usando linearidade da transformada:
Passo 7
Agora precisamos da fórmula da transformada de Laplace de
. A fórmula padrão é
válida para
(condição que garante convergência). Uma maneira rápida de ver isso é escrever
Aqui
significa “parte imaginária” e usamos que
quando
.
Passo 8
Aplicando a fórmula com
e
:
válidas para
.
Passo 9
Voltando à expressão do Passo 6:
Podemos simplificar somando as frações sobre um denominador comum:
Passo 10
Condição de convergência: todas as transformadas usadas exigem
, então a expressão final é válida para
.