Calcule as transformadas de Laplace.
\mathcal{L}\left\{\operatorname{sen}(5 t) \cos (2 t)\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace de \sin(5t)\cos(2t).
Informações dadas: temos a função f(t)=\sin(5t)\cos(2t) para t\ge 0 e queremos \mathcal{L}\{f(t)\}.
Pergunta clara: encontrar uma expressão em s para \mathcal{L}\{\sin(5t)\cos(2t)\}, indicando a condição de convergência em s.

Passo 2

Recordando a definição e propriedade que vamos usar: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral converge, tipicamente, para \operatorname{Re}(s) suficientemente grande.
Uma propriedade fundamental e simples que usaremos é a linearidade:
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\},
para constantes a,b.

Passo 3

Escolha do método: para transformar o produto \sin(5t)\cos(2t) é prático usar identidades trigonométricas que transformam o produto em soma de funções cuja transformada é conhecida. Outra opção seria escrever as funções trigonométricas em exponenciais complexas; ambas funcionam, mas a identidade produto-para-soma costuma ser mais direta aqui. Vamos usá-la.

Passo 4

A identidade produto-para-soma que precisamos é
\sin A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\sin(A+B)+\sin(A-B)\big).
Breve justificativa (útil saber na prova): usando \sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B e somando as duas igualdades obtemos \sin(A+B)+\sin(A-B)=2\sin A\cos B, daí a identidade acima.

Passo 5

Aplicando a identidade ao nosso caso com A=5t e B=2t:
\sin(5t)\cos(2t)=\tfrac{1}{2}\big(\sin(7t)+\sin(3t)\big),
pois 5t+2t=7t e 5t-2t=3t.

Passo 6

Usando linearidade da transformada:
\mathcal{L}\{\sin(5t)\cos(2t)\}=\tfrac{1}{2}\big(\mathcal{L}\{\sin(7t)\}+\mathcal{L}\{\sin(3t)\}\big).

Passo 7

Agora precisamos da fórmula da transformada de Laplace de \sin(at). A fórmula padrão é
\mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},
válida para \operatorname{Re}(s)>0 (condição que garante convergência). Uma maneira rápida de ver isso é escrever
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt=\operatorname{Im}\int_{0}^{\infty} e^{-(s-ia)t}\,dt =\operatorname{Im}\!\left(\frac{1}{s-ia}\right) =\operatorname{Im}\!\left(\frac{s+ia}{s^{2}+a^{2}}\right)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui \operatorname{Im} significa “parte imaginária” e usamos que \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}dt=1/\alpha quando \operatorname{Re}(\alpha)>0.

Passo 8

Aplicando a fórmula com a=7 e a=3:
\mathcal{L}\{\sin(7t)\}=\frac{7}{s^{2}+49},\qquad \mathcal{L}\{\sin(3t)\}=\frac{3}{s^{2}+9},
válidas para \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 9

Voltando à expressão do Passo 6:
\mathcal{L}\{\sin(5t)\cos(2t)\}=\tfrac{1}{2}\left(\frac{7}{s^{2}+49}+\frac{3}{s^{2}+9}\right).
Podemos simplificar somando as frações sobre um denominador comum:
\tfrac{1}{2}\left(\frac{7}{s^{2}+49}+\frac{3}{s^{2}+9}\right) =\frac{5s^{2}+105}{(s^{2}+49)(s^{2}+9)} =\frac{5\big(s^{2}+21\big)}{(s^{2}+49)(s^{2}+9)}.

Passo 10

Condição de convergência: todas as transformadas usadas exigem \operatorname{Re}(s)>0, então a expressão final é válida para \operatorname{Re}(s)>0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\sin(5t)\cos(2t)\}(s)=\tfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{7}{s^{2}+49}+\dfrac{3}{s^{2}+9}\right)
\displaystyle =\dfrac{5\big(s^{2}+21\big)}{(s^{2}+49)(s^{2}+9)},\quad \operatorname{Re}(s)>0

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