Calcule as transformadas de Laplace.
\mathcal{L}\left\{t^{2} \operatorname{sen}(t)\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função \;t^{2}\operatorname{sen}(t)\;.
Informações dadas: a função é \;t^{2}\operatorname{sen}(t)\; definida para t\ge 0. O resultado deve ser uma função de s.

Passo 2

Fórmula útil (e por que ela vale): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt, então, diferenciando sob o sinal de integral,
\frac{d}{ds}F(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\bigl(e^{-st}f(t)\bigr)\,dt=\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-st}f(t)\,dt=-\mathcal{L}\{t f(t)\}.
Dessa identidade segue, por indução, a fórmula geral
\mathcal{L}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s).
No nosso caso n=2, então
\mathcal{L}\{t^{2}\sin t\}=\frac{d^{2}}{ds^{2}}F(s),
onde F(s)=\mathcal{L}\{\sin t\}.

Passo 3

Calcular a transformada de \sin t. É um resultado padrão (pode ser obtido integrando por partes ou lembrando tabelas):
F(s)=\mathcal{L}\{\sin t\}=\frac{1}{s^{2}+1},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 4

Calcular a primeira derivada F'(s). Escrevemos F(s)=(s^{2}+1)^{-1} e aplicamos a regra da cadeia:
F'(s)=-1\cdot (s^{2}+1)^{-2}\cdot 2s=-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Calcular a segunda derivada F''(s) aplicando a regra do produto (ou cadeia) em F'(s)=-2s\,(s^{2}+1)^{-2}.
Derivando:
F''(s)=-2\,(s^{2}+1)^{-2}+(-2s)\cdot\left(-2\right)(s^{2}+1)^{-3}\cdot 2s.
Explicando o segundo termo: derivada de (s^{2}+1)^{-2} é -2(s^{2}+1)^{-3}\cdot 2s=-4s(s^{2}+1)^{-3}; multiplicando por -2s 8s^{2}(s^{2}+1)^{-3}.
Assim
F''(s)=-\frac{2}{(s^{2}+1)^{2}}+\frac{8s^{2}}{(s^{2}+1)^{3}}.
Colocando sobre o mesmo denominador (s^{2}+1)^{3}:
F''(s)=\frac{-2(s^{2}+1)+8s^{2}}{(s^{2}+1)^{3}}=\frac{-2s^{2}-2+8s^{2}}{(s^{2}+1)^{3}}=\frac{6s^{2}-2}{(s^{2}+1)^{3}}.
Fatorando 2:
F''(s)=\frac{2(3s^{2}-1)}{(s^{2}+1)^{3}}.

Passo 6

Concluir usando a propriedade do Passo 2: como \mathcal{L}\{t^{2}\sin t\}=F''(s), temos o resultado final, válido para \operatorname{Re}(s)>0. Força aí — essa técnica de derivar a transformada básica é poderosa e economiza trabalho!

Resposta

\mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{sen}(t)\}=\frac{2\bigl(3s^{2}-1\bigr)}{(s^{2}+1)^{3}},\qquad \operatorname{Re}(s)>0

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