Calcule as transformadas de Laplace.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função é definida para
. O resultado deve ser uma função de
.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Fórmula útil (e por que ela vale): se
, então, diferenciando sob o sinal de integral,
Dessa identidade segue, por indução, a fórmula geral
No nosso caso
, então
onde
.
Passo 3
Calcular a transformada de
. É um resultado padrão (pode ser obtido integrando por partes ou lembrando tabelas):
Passo 4
Calcular a primeira derivada
. Escrevemos
e aplicamos a regra da cadeia:
Passo 5
Calcular a segunda derivada
aplicando a regra do produto (ou cadeia) em
.
Derivando:
Explicando o segundo termo: derivada de
é
; multiplicando por
dá
.
Assim
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Fatorando
:
Passo 6
Concluir usando a propriedade do Passo 2: como
, temos o resultado final, válido para
. Força aí — essa técnica de derivar a transformada básica é poderosa e economiza trabalho!