Calcule a TVM de
f(x)=x^{3} no intervalo [2,5]

Passo 1

O enunciado pede que apliquemos o Teorema do Valor Médio (TVM) à função f(x)=x^3 no intervalo [2,5]. Para isso precisamos que f seja contínua em [2,5] e diferenciável em (2,5), condições satisfeitas por polinômios.

Passo 2

Pelo TVM, existe c\in(2,5) tal que
f'\text{(c)} \;=\;\frac{f(5)-f(2)}{5-2}.

Passo 3

Calculamos a razão média:
\frac{f(5)-f(2)}{5-2} =\frac{5^3 - 2^3}{3} =\frac{125 - 8}{3} =\frac{117}{3} =39.

Passo 4

Derivamos f:
f'(x)=3x^2.

Passo 5

Igualamos f'\text{(c)} à razão média e resolvemos para c:
3c^2 = 39 \quad\Longrightarrow\quad c^2 = 13 \quad\Longrightarrow\quad c = \pm\sqrt{13}.
Como c deve estar em (2,5), escolhemos
c = \sqrt{13}\approx 3{,}61.

Resposta

\displaystyle c = \sqrt{13}

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