Calcule a TVM de
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+1 no intervalo [1,4]

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) à função
f(x)=x^{2}-4x+1
no intervalo [1,4]. Para usar o TVM, precisamos que f seja contínua em [1,4] e diferenciável em (1,4), o que vale para qualquer polinômio.

Passo 2

Calculamos os valores de f nas extremidades do intervalo:
f(1)=1^{2}-4\cdot1+1=1-4+1=-2,
f(4)=4^{2}-4\cdot4+1=16-16+1=1.

Passo 3

O coeficiente angular médio no intervalo [1,4] é
\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{1-(-2)}{3}=\frac{3}{3}=1.

Passo 4

A derivada de f é
f'(x)=2x-4.
Pelo TVM, existe c\in(1,4) tal que
f'\text{(c)}=1.
Logo,
2c-4=1 \quad\Longrightarrow\quad 2c=5 \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{5}{2}.

Resposta

O valor c garantido pelo Teorema do Valor Médio é
c=\frac{5}{2}.

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