Calcule, usando a definição, o limite lim (raiz4 n^2-1-2 n).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de quando tende ao infinito. Isso está dentro da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites de funções. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que quando fica muito grande, domina o termo , então a expressão está quase igual a . Mas queremos saber a diferença exata entre e .

Passo 3

Uma técnica útil para esse tipo de limite é multiplicar e dividir pela conjugada da expressão. A conjugada de raiz4n^2 - 1 - 2n = (raiz4n^2 - 1 - 2n)(raiz4n^2 - 1 + 2n)raiz4n^2 - 1 + 2n é . Vamos fazer isso:

Passo 4

Multiplicando os numeradores:
(raiz4n^2 - 1)^2 - (2n)^2 = (4n^2 - 1) - 4n^2 = -1
Então, a expressão fica:
-1raiz4n^2 - 1 + 2n

Passo 5

Agora, vamos simplificar o denominador. Sabemos que raiz4n^2 - 1 + 2n approx 2n (1 - 18n^2) + 2n = 4n - 14n . Para grande, .
Portanto:

Passo 6

Agora, substituindo de volta na expressão:
-14n - 14n = -14n (1 + 116n^2)
À medida que -14n (1 + 0) = -14n tende ao infinito, o termo tende a zero, então:

Passo 7

Finalmente, calculando o limite:
limn to infty -14n = 0

Resposta

O limite é igual a .

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