Considere
. Existem números reais
e
tais que
? A solução é única?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro matrizes dadas:
Queremos descobrir se existem números reais
tais que:
Além disso, precisamos verificar se essa solução é única. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinação linear e sistema de equações lineares.
Passo 2
Vamos escrever a equação matricial
de forma mais detalhada. Isso significa que cada entrada da matriz resultante deve ser igual a zero. Vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos coeficientes e somar:
Passo 3
Vamos somar as matrizes de forma componente a componente:
Isso nos dá um sistema de quatro equações:
-
(posição (1,1)) -
(posição (1,2)) -
(posição (2,1)) -
(posição (2,2))
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Começamos pela terceira equação:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 5
Substituindo
e
na segunda equação:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na quarta equação:
Passo 7
Com
, voltamos para as equações anteriores:
Resposta
Sim, existem números reais
que satisfazem
, sendo que a única solução é
.