Calcule, usando a definição, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite lateral direito
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função considerada é
. - A aproximação é pelo lado direito de
, ou seja, apenas e .
O objetivo é provar, usando a definição (epsilon‑delta) de limite, qual é esse valor limite.
Passo 2
Recordando a definição de limite (epsilon‑delta) no caso de limite em um ponto pela direita:
Dizemos que se, para todo
, existe
tal que, para todo
,
se então
.
Aqui vou mostrar que . Então preciso, dado um
arbitrário, indicar um
que garanta
sempre que
.
Dizemos que
se
Aqui vou mostrar que
Passo 3
Vou usar uma desigualdade clássica que vale para
em
:
.
Essa desigualdade pode ser vista geometricamente no círculo unitário comparando áreas: a área do triângulo inscrito é , a área do setor é
e a área do triângulo circunscrito é
, e portanto
Essa desigualdade pode ser vista geometricamente no círculo unitário comparando áreas: a área do triângulo inscrito é
Dessa desigualdade segue, em particular, que
(Coloquei
por conveniência; a desigualdade estrita
também vale para
.)
Passo 4
Agora aplico isso ao problema do epsilon‑delta. Seja
dado. Vou escolher
Assim
e, se
, então automaticamente
e, pela desigualdade do passo anterior,
.
Passo 5
Com
temos
Portanto, para todo
escolhi um
(especificado acima) tal que
implica
. Isso é exatamente a verificação da definição de limite.
Passo 6
Concluímos, usando a definição epsilon‑delta, que o limite existe e vale
. Intuitivamente: para
pequeno e positivo,
fica ainda menor que
, então pode-se tornar
tão pequeno quanto se quiser escolhendo
suficientemente pequeno.