Calcule, usando a definição, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral direito
\lim_{x\to 0^{+}} \operatorname{sen} x.
Informações dadas:
  • A função considerada é x \mapsto \operatorname{sen} x.
  • A aproximação é pelo lado direito de 0, ou seja, apenas x>0 e x\to 0.
    O objetivo é provar, usando a definição (epsilon‑delta) de limite, qual é esse valor limite.

Passo 2

Recordando a definição de limite (epsilon‑delta) no caso de limite em um ponto pela direita:
Dizemos que \lim_{x\to 0^{+}} \operatorname{sen} x = L se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo x,
se 0<x<\delta então |\operatorname{sen} x - L|<\varepsilon.
Aqui vou mostrar que L=0. Então preciso, dado um \varepsilon>0 arbitrário, indicar um \delta>0 que garanta |\operatorname{sen} x-0|<\varepsilon sempre que 0<x<\delta.

Passo 3

Vou usar uma desigualdade clássica que vale para x em (0,\tfrac{\pi}{2}):
\operatorname{sen} x < x < \operatorname{tg} x.
Essa desigualdade pode ser vista geometricamente no círculo unitário comparando áreas: a área do triângulo inscrito é \tfrac{1}{2}\operatorname{sen} x, a área do setor é \tfrac{1}{2}x e a área do triângulo circunscrito é \tfrac{1}{2}\operatorname{tg} x, e portanto
\operatorname{sen} x < x < \operatorname{tg} x \quad\text{para }0<x<\tfrac{\pi}{2}.
Dessa desigualdade segue, em particular, que
0<\operatorname{sen} x \le x \quad\text{para }0<x<\tfrac{\pi}{2}.
(Coloquei \le por conveniência; a desigualdade estrita \operatorname{sen} x<x também vale para 0<x<\tfrac{\pi}{2}.)

Passo 4

Agora aplico isso ao problema do epsilon‑delta. Seja \varepsilon>0 dado. Vou escolher
\delta=\min\{\varepsilon,\tfrac{\pi}{2}\}.
Assim \delta>0 e, se 0<x<\delta, então automaticamente 0<x<\tfrac{\pi}{2} e, pela desigualdade do passo anterior, \operatorname{sen} x \le x.

Passo 5

Com 0<x<\delta temos
|\operatorname{sen} x - 0| = |\operatorname{sen} x| = \operatorname{sen} x \le x < \delta \le \varepsilon.
Portanto, para todo \varepsilon>0 escolhi um \delta>0 (especificado acima) tal que 0<x<\delta implica |\operatorname{sen} x-0|<\varepsilon. Isso é exatamente a verificação da definição de limite.

Passo 6

Concluímos, usando a definição epsilon‑delta, que o limite existe e vale 0. Intuitivamente: para x pequeno e positivo, \operatorname{sen} x fica ainda menor que x, então pode-se tornar \operatorname{sen} x tão pequeno quanto se quiser escolhendo x suficientemente pequeno.

Resposta

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