Calcule
\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[3]{\frac{x}{x^{2}+3}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular
\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{\frac{x}{x^{2}+3}}.
Informações dadas:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A expressão é a raiz cúbica da razão \dfrac{x}{x^{2}+3}.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Vamos transformar a fração interna para visualizar seu comportamento quando x cresce muito. Técnica útil: dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador (aqui é x^{2}). Faço isso e escrevo a expressão em forma limpa:
\sqrt[3]{\frac{x}{x^{2}+3}} = \sqrt[3]{\frac{\dfrac{x}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{3}{x^{2}}}} = \sqrt[3]{\frac{\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{3}{x^{2}}}}.
Explicando: \dfrac{x}{x^{2}}=\dfrac{1}{x} e \dfrac{3}{x^{2}} aparece no denominador. Essa forma separa fatores que tendem a zero quando x\to+\infty.

Passo 3

Agora aplico limites às partes mais simples. Sabemos que
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x^{2}}=0.
Pelo teorema dos limites (limite da soma e do quociente, quando o denominador tem limite não nulo), obtemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{3}{x^{2}}}=\frac{0}{1+0}=0.

Passo 4

A raiz cúbica é uma função contínua em todo \mathbb{R}. Para funções contínuas vale que o limite da composição é a composição dos limites. Assim,
\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{\frac{\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{3}{x^{2}}}} = \sqrt[3]{\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{3}{x^{2}}}} = \sqrt[3]{0}=0.

Passo 5

Verificação alternativa (inequação): para x>0 tem-se x^{2}+3\ge x^{2}, logo
0<\frac{x}{x^{2}+3}\le\frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x}.
Tomando raiz cúbica em tudo (função monótona crescente) e passando ao limite,
0\le \sqrt[3]{\frac{x}{x^{2}+3}}\le \sqrt[3]{\frac{1}{x}}.
Como \lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{1/x}=0, pelo princípio da sanduíche o limite da expressão original também é 0. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

0

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