(2.0) Calcule usando mudança de coordenadas trigonométricas a integral
onde
é o circulo
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é o disco unitário definido por
.\n
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- •A região de integração é o disco unitário centrado na origem:
. - •A função a integrar é
. - •Precisamos calcular o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Escolhemos fazer uma mudança de coordenadas trigonométricas (coordenadas polares) porque a região
é um disco — em polares a descrição da região fica muito simples.\n
Definimos a transformação
Definimos a transformação
com os parâmetros variando em
Agora preciso explicar por que
(essa é a famosa “Jacobiana” de polares). Uma maneira direta é calcular o determinante da matriz jacobiana:
Calculando o determinante:
Como
, temos
.\n
(Dica prática: geometricamente, um pequeno retângulo em tem área aproximada
.)]
(Dica prática: geometricamente, um pequeno retângulo em
Passo 3
Agora escrevemos a função integranda em polares. Substituindo
e
na função
obtemos
Multiplicando pelo fator jacobiano
para passar para
, o integrando se torna
Portanto a integral dupla fica
Passo 4
Vamos integrar primeiro em
(fazendo as integrais de potências de
que são diretas). Calculamos cada termo separadamente:
Substituindo esses resultados na integral em
, obtemos
Passo 5
Agora integramos em
. Três observações úteis:
- Para
usamos a identidade . Assim
- A integral de
ao longo de um período completo é zero:
- A integral da constante
é simples:
Agora juntamos as contribuições com os coeficientes:
Somando,