(2.0) Calcule usando mudança de coordenadas trigonométricas a integral
\iint_{B}\left(x^{2}+2 y+1\right) d x d y
onde B é o circulo x^{2}+y^{2} \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{B}\left(x^{2}+2 y+1\right) d x d y
onde B é o disco unitário definido por \,x^{2}+y^{2}\le 1.\n
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A região de integração é o disco unitário centrado na origem: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
  • A função a integrar é f(x,y)=x^{2}+2y+1.
  • Precisamos calcular o valor numérico da integral dupla sobre B.

Passo 2

Escolhemos fazer uma mudança de coordenadas trigonométricas (coordenadas polares) porque a região B é um disco — em polares a descrição da região fica muito simples.\n
Definimos a transformação
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
com os parâmetros variando em
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
Agora preciso explicar por que dx\,dy = r\,dr\,d\theta (essa é a famosa “Jacobiana” de polares). Uma maneira direta é calcular o determinante da matriz jacobiana:
J=\det\begin{pmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial\theta\\[4pt] \partial y/\partial r & \partial y/\partial\theta \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.
Calculando o determinante:
J = (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.
Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, temos dx\,dy = |J|\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta.\n
(Dica prática: geometricamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,dr\,d\theta.)]

Passo 3

Agora escrevemos a função integranda em polares. Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta na função x^{2}+2y+1 obtemos
x^{2}+2y+1 = r^{2}\cos^{2}\theta + 2r\sin\theta + 1.
Multiplicando pelo fator jacobiano r para passar para dr\,d\theta, o integrando se torna
r\big(r^{2}\cos^{2}\theta + 2r\sin\theta + 1\big) = r^{3}\cos^{2}\theta + 2r^{2}\sin\theta + r.
Portanto a integral dupla fica
\iint_{B}(x^{2}+2y+1)\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\big(r^{3}\cos^{2}\theta + 2r^{2}\sin\theta + r\big)\,dr\,d\theta.

Passo 4

Vamos integrar primeiro em r (fazendo as integrais de potências de r que são diretas). Calculamos cada termo separadamente:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4},
\int_{0}^{1} 2r^{2}\,dr = 2\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3},
\int_{0}^{1} r\,dr = \left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Substituindo esses resultados na integral em \theta, obtemos
\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{4}\cos^{2}\theta + \frac{2}{3}\sin\theta + \frac{1}{2}\right)d\theta.

Passo 5

Agora integramos em \theta. Três observações úteis:
  1. Para \cos^{2}\theta usamos a identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}. Assim
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\theta\right]_{0}^{2\pi} + \frac{1}{2}\left[\frac{\sin 2\theta}{2}\right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2}\cdot 2\pi + 0 = \pi.
  1. A integral de \sin\theta ao longo de um período completo é zero:
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0.
  1. A integral da constante \tfrac{1}{2} é simples:
\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.
Agora juntamos as contribuições com os coeficientes:
\frac{1}{4}\cdot \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta \;+\; \frac{2}{3}\cdot\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta \;+\; \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\,d\theta = \frac{1}{4}\pi + \frac{2}{3}\cdot 0 + \pi = \frac{1}{4}\pi + \pi.
Somando,
\frac{1}{4}\pi + \pi = \frac{5}{4}\pi.

Resposta

\dfrac{5\pi}{4}

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