\int \cos 2 x \cos 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos 2x \cos 5x \, dx.
Informações dadas: a função integranda é o produto de duas funções trigonométricas \cos 2x e \cos 5x. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, isto é, uma função cuja derivada seja \cos 2x \cos 5x.

Passo 2

Vamos reduzir o produto de cossenos a uma soma de cossenos usando uma identidade trigonométrica. Primeiro, lembramos as fórmulas de soma e diferença para cosseno:
\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B
Somando essas duas igualdades, os termos com \sin se cancelam e obtemos:
\cos(A+B)+\cos(A-B)=2\cos A\cos B.
Dessa igualdade segue a identidade produto-para-soma que vamos usar:
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr).
Aqui A e B são ângulos quaisquer; na nossa integral vamos tomar A=2x e B=5x.

Passo 3

Aplicando a identidade com A=2x e B=5x temos:
\cos 2x \cos 5x = \tfrac{1}{2}\bigl(\cos(2x+5x)+\cos(2x-5x)\bigr).
Simplificando os argumentos:
\cos 2x \cos 5x = \tfrac{1}{2}\bigl(\cos 7x + \cos(-3x)\bigr).

Passo 4

Usamos que o cosseno é função par, ou seja, \cos(-\theta)=\cos\theta. Assim:
\cos 2x \cos 5x = \tfrac{1}{2}\bigl(\cos 7x + \cos 3x\bigr).
Portanto a integral vira
\int \cos 2x \cos 5x \, dx = \tfrac{1}{2}\int\bigl(\cos 7x + \cos 3x\bigr)\,dx.

Passo 5

Agora usamos a regra básica de integração para cosseno com argumento linear: se k é constante então
\int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx)+C,
porque a derivada de \sin(kx) é k\cos(kx) (regra da cadeia). Aplicando isso termo a termo:
\tfrac{1}{2}\int \cos 7x\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}\sin 7x = \frac{1}{14}\sin 7x,
\tfrac{1}{2}\int \cos 3x\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\sin 3x = \frac{1}{6}\sin 3x.

Passo 6

Somando as duas primitivas e acrescentando a constante geral de integração C, obtemos a primitiva da integranda:
\int \cos 2x \cos 5x \, dx = \frac{1}{6}\sin 3x + \frac{1}{14}\sin 7x + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado temos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{6}\sin 3x + \frac{1}{14}\sin 7x\right) = \frac{1}{6}\cdot 3\cos 3x + \frac{1}{14}\cdot 7\cos 7x = \tfrac{1}{2}\cos 3x + \tfrac{1}{2}\cos 7x = \cos 2x\cos 5x,
onde no último passo reaplicamos a identidade produto-para-soma invertida. Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\sin 3x + \frac{1}{14}\sin 7x + C

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