Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é o produto de duas funções trigonométricas
e
. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, isto é, uma função cuja derivada seja
.
Passo 2
Vamos reduzir o produto de cossenos a uma soma de cossenos usando uma identidade trigonométrica. Primeiro, lembramos as fórmulas de soma e diferença para cosseno:
Somando essas duas igualdades, os termos com
se cancelam e obtemos:
Dessa igualdade segue a identidade produto-para-soma que vamos usar:
Aqui
e
são ângulos quaisquer; na nossa integral vamos tomar
e
.
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
temos:
Simplificando os argumentos:
Passo 4
Usamos que o cosseno é função par, ou seja,
. Assim:
Portanto a integral vira
Passo 5
Agora usamos a regra básica de integração para cosseno com argumento linear: se
é constante então
porque a derivada de
é
(regra da cadeia). Aplicando isso termo a termo:
Passo 6
Somando as duas primitivas e acrescentando a constante geral de integração
, obtemos a primitiva da integranda:
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado temos
onde no último passo reaplicamos a identidade produto-para-soma invertida. Isso confirma que a primitiva está correta.