Calcule o valor de:
\binom{4}{0}+\binom{4}{1}+\cdots+\binom{4}{4}

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a soma dos coeficientes binomiais de ordem 4:
\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Binômio, que relaciona a expansão de (1+1)^n à soma desses coeficientes.

Passo 2

Pelo Teorema do Binômio, temos:
(1 + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 1^{n-k} 1^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}.
Isso mostra que a soma dos coeficientes binomiais de ordem n é 2^n.

Passo 3

Agora, basta aplicar essa identidade para n=4:
\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k} = 2^4 = 16.

Resposta

16

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