Calcule o valor de:
\binom{10}{0}-\binom{9}{0}+\binom{10}{1}-\binom{9}{1}+\cdots+\binom{10}{9}-\binom{9}{9}+\binom{10}{10}

Passo 1

O enunciado pede o valor da soma alternada
S \;=\;\binom{10}{0}-\binom{9}{0}+\binom{10}{1}-\binom{9}{1}+\cdots+\binom{10}{9}-\binom{9}{9}+\binom{10}{10}.
O conteúdo principal é soma de coeficientes binomiais e usaremos a identidade
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}.

Passo 2

Separemos S em duas somas e o último termo:
S \;=\;\sum_{k=0}^{9}\binom{10}{k}\;-\;\sum_{k=0}^{9}\binom{9}{k}\;+\;\binom{10}{10}.

Passo 3

Aplicando \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}:
\sum_{k=0}^{9}\binom{10}{k} =2^{10}-\binom{10}{10} =2^{10}-1 =1024-1 =1023,
\sum_{k=0}^{9}\binom{9}{k} =2^{9} =512.

Passo 4

Substituindo esses valores em S:
S = 1023 - 512 + \binom{10}{10} =1023 - 512 + 1 =512.

Resposta

512

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