Calcule o valor de cada inegral seguinte:
z=integral-1^3(u+2) raizu+1 d u

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral:
z = integral-1^3 (u + 2) raizu + 1 , du
Aqui, estamos trabalhando com integrais definidas, que servem para calcular a área sob a curva de uma função entre dois pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e integração de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos definir:
t = u + 1
Dessa forma, a derivada de dt = du em relação a z = integral0^4 (t + 1) raizt , dt é:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável :
  • Quando , então
  • Quando , então
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Vamos expandir o integrando para facilitar a integração. Multiplicando (t + 1) raizt = t cdot raizt + 1 cdot raizt = t^3/2 + t^1/2 por z = integral0^4 ( t^3/2 + t^1/2 ) dt :
Agora, a integral fica:

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de integral t^n dt = t^n+1n+1 + C é:
integral t^3/2 dt = 25 t^5/2
Aplicando isso aos nossos termos:
integral t^1/2 dt = 23 t^3/2
z = [ 25 t^5/2 + 23 t^3/2 ]0^4
Então, a integral completa é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 4:
Primeiro, para 25 cdot 4^5/2 + 23 cdot 4^3/2 :
4^3/2 = 4 cdot 2 = 8 e 4^5/2 = 16 cdot 2 = 32
Calculando 25 cdot 32 + 23 cdot 8 = 645 + 163 , então:
645 = 19215 e 163 = 8015
Substituindo:
19215 + 8015 = 27215
Agora, vamos somar as frações. O denominador comum é 15:
Então:
Para , ambos os termos são zero, então não precisamos adicionar nada.

Resposta

O valor da integral é:
z = 27215

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