Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a integral:
Aqui, estamos trabalhando com integrais definidas, que servem para calcular a área sob a curva de uma função entre dois pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e integração de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos definir:
Dessa forma, a derivada de
em relação a
é:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável
:
- Quando
, então - Quando
, então
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Vamos expandir o integrando para facilitar a integração. Multiplicando
por
:
Agora, a integral fica:
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de
é:
Aplicando isso aos nossos termos:
Então, a integral completa é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 4:
Primeiro, para
:
Calculando
, então:
Substituindo:
Agora, vamos somar as frações. O denominador comum é 15:
Então:
Para
, ambos os termos são zero, então não precisamos adicionar nada.
Resposta
O valor da integral é: