Calcule o valor inicial e final da resposta de estado nulo do sistema LCIT com a seguinte função de transferência:
e a entrada:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A função de transferência do sistema é
. - A entrada é (a)
, o degrau unitário.
O que o problema pede: - Calcular o valor inicial da resposta de estado nulo (isto é,
). - Calcular o valor final da resposta de estado nulo (isto é,
).
Passo 2
Lembretes fundamentais que vou usar (com explicação):
- A transformada de Laplace do degrau unitário
é . Ou seja, a entrada em domínio de Laplace é . - A saída em Laplace é
. Aqui, como quero a resposta de estado nulo (zero-state), uso apenas multiplicando . - Teorema do valor inicial: para uma função causal
com transformada ,
Isto dá o valor da saída imediatamente após
.
- Teorema do valor final: se todos os polos de
têm parte real negativa (ou seja, não há polos no semiplano direito nem polos não estáveis em ), então
Isto dá o valor de regime permanente da saída.
Passo 3
Calcular
usando
:
Passo 4
Aplicar o teorema do valor inicial:
Para
numa razão de polinômios de mesmo grau, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Assim:
Interpretação rápida: a saída começa em
imediatamente após a aplicação do degrau.
Passo 5
Aplicar o teorema do valor final:
Agora avaliar em
(substituição direta):
Interpretação rápida: o valor em regime permanente (quando
) é
.
Passo 6
Verificação das hipóteses do teorema do valor final (para garantir que o uso foi válido):
- Os polos de
são raízes de . Calcular as raízes:
As partes reais são
, ou seja, os polos estão no semiplano esquerdo (sistema estável). Além disso,
não tem polos com parte real não-negativa. Logo, as condições para o teorema do valor final estão satisfeitas e o resultado
é válido.