Encontre a resposta total
, a resposta ao estado nulo
e a resposta de entrada zero
dos sistemas descritos pelas seguintes equações diferenciais:
para
e condições iniciais
.
para
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear:
com
(o degrau unitário) e condições iniciais
As perguntas são:
- encontrar a resposta total
; - encontrar a resposta ao estado nulo
(ou seja, resposta quando o estado inicial é nulo — resposta zero-estado); - encontrar a resposta de entrada zero
(ou seja, resposta quando a entrada é zero — resposta zero-entrada).
Também peguei da hipótese do enunciado que
, portanto
(a derivada do degrau é o impulso).
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace para resolver a equação porque é um método direto para EDOs lineares com condições iniciais e sinais em degrau/impulso. Lembrete rápido das fórmulas que vou usar:
Além disso,
e
. Vou aplicar a Laplace à EDO usando as condicionais iniciais dadas.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace à equação
(observe que substituí
porque peguei
), obtemos, usando as fórmulas das derivadas e
:
Como
e
, isso simplifica para:
Passo 4
Isolando
:
Factorizo o denominador:
portanto
Passo 5
Faço frações parciais para inverter a Laplace. Procuro constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
dá
Escolhendo
obtemos
. Escolhendo
obtemos
, logo
. Assim
Passo 6
Inverto a transformada de Laplace termo a termo usando
:
Interpretação: a entrada
gera no lado direito um impulso
, o sistema responde com uma combinação de exponenciais causais.
Passo 7
Agora defino claramente as respostas pedidas:
- Resposta total
já foi encontrada: . - Resposta ao estado nulo
significa a resposta quando o estado inicial é nulo (zero-estado). Como as condições iniciais fornecidas são (estado nulo), a resposta zero-estado coincide com a resposta total encontrada:
- Resposta de entrada zero
significa resposta quando a entrada é zero (zero-input response), ou seja a solução da equação homogênea
com as condições iniciais dadas. Mas como as condições iniciais são
, a solução homogênea vale identicamente zero:
Passo 8
Resumo e observação final rápida: o sistema tem função de transferência (se escrita)
entre
-entrada e
. A presença de
transformou o degrau em impulso, daí a resposta simples em termos de diferenças de exponenciais. Força um pouco: se as condições iniciais não fossem nulas, a resposta total seria a soma da resposta zero-estado (calculada acima) mais a resposta zero-input (não-zero, determinada pela solução homogênea com as ICs dadas).