Encontre a resposta total
\mathrm{y}(\mathrm{t}), a resposta ao estado nulo y_{e}(t) e a resposta de entrada zero y_{0}(t) dos sistemas descritos pelas seguintes equações diferenciais:
\left(D^{2}+3 D+2\right) y(t)=D x(t)
para x(t)=u(t) e condições iniciais y(0)=y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear:
\left(D^{2}+3D+2\right)y(t)=D x(t)
com x(t)=u(t) (o degrau unitário) e condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
As perguntas são:
  • encontrar a resposta total y(t);
  • encontrar a resposta ao estado nulo y_{e}(t) (ou seja, resposta quando o estado inicial é nulo — resposta zero-estado);
  • encontrar a resposta de entrada zero y_{0}(t) (ou seja, resposta quando a entrada é zero — resposta zero-entrada).
Também peguei da hipótese do enunciado que x(t)=u(t), portanto D x(t)=\dfrac{d}{dt}u(t)=\delta(t) (a derivada do degrau é o impulso).

Passo 2

Vou usar a transformada de Laplace para resolver a equação porque é um método direto para EDOs lineares com condições iniciais e sinais em degrau/impulso. Lembrete rápido das fórmulas que vou usar:
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), \qquad \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Além disso, \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t}u(t). Vou aplicar a Laplace à EDO usando as condicionais iniciais dadas.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace à equação
\left(D^{2}+3D+2\right)y(t)=\delta(t)
(observe que substituí D x(t)=\delta(t) porque peguei x(t)=u(t)), obtemos, usando as fórmulas das derivadas e y(0)=0,\;y'(0)=0:
(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)) + 3(sY(s)-y(0)) + 2Y(s) = 1.
Como y(0)=0 e y'(0)=0, isso simplifica para:
(s^{2}+3s+2)\,Y(s)=1.

Passo 4

Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{1}{s^{2}+3s+2}.
Factorizo o denominador:
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2),
portanto
Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}.

Passo 5

Faço frações parciais para inverter a Laplace. Procuro constantes A,B tais que
\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2)
1=A(s+2)+B(s+1).
Escolhendo s=-1 obtemos 1=A. Escolhendo s=-2 obtemos 1=-B, logo B=-1. Assim
Y(s)=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}.

Passo 6

Inverto a transformada de Laplace termo a termo usando \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t}u(t):
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\}-\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+2}\right\}
y(t)=e^{-t}u(t)-e^{-2t}u(t)=(e^{-t}-e^{-2t})\,u(t).
Interpretação: a entrada x(t)=u(t) gera no lado direito um impulso \delta(t), o sistema responde com uma combinação de exponenciais causais.

Passo 7

Agora defino claramente as respostas pedidas:
  • Resposta total y(t) já foi encontrada: y(t)=(e^{-t}-e^{-2t})u(t).
  • Resposta ao estado nulo y_{e}(t) significa a resposta quando o estado inicial é nulo (zero-estado). Como as condições iniciais fornecidas são y(0)=0,\;y'(0)=0 (estado nulo), a resposta zero-estado coincide com a resposta total encontrada:
y_{e}(t)=(e^{-t}-e^{-2t})u(t).
  • Resposta de entrada zero y_{0}(t) significa resposta quando a entrada é zero (zero-input response), ou seja a solução da equação homogênea
y''+3y'+2y=0
com as condições iniciais dadas. Mas como as condições iniciais são y(0)=0,\;y'(0)=0, a solução homogênea vale identicamente zero:
y_{0}(t)=0.

Passo 8

Resumo e observação final rápida: o sistema tem função de transferência (se escrita) H(s)=\dfrac{1}{s^{2}+3s+2} entre \delta-entrada e y. A presença de D x(t) transformou o degrau em impulso, daí a resposta simples em termos de diferenças de exponenciais. Força um pouco: se as condições iniciais não fossem nulas, a resposta total seria a soma da resposta zero-estado (calculada acima) mais a resposta zero-input (não-zero, determinada pela solução homogênea com as ICs dadas).

Resposta

y(t)=(e^{-t}-e^{-2t})\,u(t)
y_{e}(t)=(e^{-t}-e^{-2t})\,u(t)
y_{0}(t)=0

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