Para um sistema LTIC descrito pela seguinte função de transferência:
H(s)=\frac{s+2}{s^{2}+5 s+4}
Encontre a equação para a resposta de amplitude e de fase e calcule a resposta para cada uma das seguintes entradas:
(a) 5 \cos \left(2 t+30^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência do sistema:
H(s)=\frac{s+2}{s^{2}+5s+4}
e pede duas coisas:
  • Encontrar a equação da resposta de amplitude (módulo) e da resposta de fase (ângulo) em função da frequência \omega.
  • Calcular a resposta do sistema quando a entrada é \;5\cos\left(2t+30^\circ\right).
Informações relevantes que temos:
  • A entrada é uma cossenoide de amplitude 5, pulsação \omega=2 (rad/s) e fase inicial 30^\circ.
  • Para determinar a resposta em regime permanente a senóides usa-se a substituição s=j\omega e a resposta em frequência H(j\omega).

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagar): para um sistema linear, invariante no tempo e causal, quando a entrada é uma senóide A\cos(\omega t+\varphi) a saída em regime permanente (após transitórios) também é uma senóide com a mesma frequência, amplitude escalada por |H(j\omega)| e fase somada à fase de H(j\omega). Em fórmula:
y_{\text{ss}}(t)=A\,|H(j\omega)|\cos\big(\omega t+\varphi+\angle H(j\omega)\big).
Aqui:
  • A é a amplitude da entrada,
  • \omega é a pulsação (rad/s),
  • \varphi é a fase da entrada (radianos ou graus),
  • |H(j\omega)| é o ganho em módulo na frequência \omega,
  • \angle H(j\omega) é a fase do sistema nessa \omega.
Portanto o procedimento é: avaliar H(j\omega), extrair módulo e fase, e aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Substituir s=j\omega em H(s) e separar parte real e imaginária para poder achar módulo e fase:
H(j\omega)=\frac{j\omega+2}{(j\omega)^{2}+5(j\omega)+4}.
Calcule o denominador:
(j\omega)^{2}=-\omega^{2},\qquad\text{logo}\qquad (j\omega)^{2}+5(j\omega)+4=4-\omega^{2}+j5\omega.
Então escrevemos numerador e denominador em forma a+j b:
\text{numerador }N=2+j\omega,\qquad \text{denominador }D=(4-\omega^{2})+j5\omega.

Passo 4

Determinar o módulo |H(j\omega)|. Para um quociente de complexos,
|H(j\omega)|=\frac{|N|}{|D|}=\frac{\sqrt{(\Re N)^{2}+(\Im N)^{2}}}{\sqrt{(\Re D)^{2}+(\Im D)^{2}}}.
Substituindo as partes reais e imaginárias:
|N|=\sqrt{2^{2}+\omega^{2}}=\sqrt{\omega^{2}+4},
|D|=\sqrt{(4-\omega^{2})^{2}+(5\omega)^{2}}=\sqrt{(4-\omega^{2})^{2}+25\omega^{2}}.
Portanto a resposta de amplitude (função de \omega) é
\boxed{|H(j\omega)|=\sqrt{\dfrac{\omega^{2}+4}{(4-\omega^{2})^{2}+25\omega^{2}}}.}

Passo 5

Determinar a fase \angle H(j\omega). A fase de um quociente é a diferença das fases:
\angle H(j\omega)=\angle N-\angle D.
Para um número complexo a+j b, \angle(a+jb)=\operatorname{atan2}(b,a). Aqui:
\angle N=\operatorname{atan2}(\omega,2)=\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right)\quad(\text{uso comum quando }2>0),
\angle D=\operatorname{atan2}(5\omega,\,4-\omega^{2})=\arctan\!\left(\frac{5\omega}{4-\omega^{2}}\right)
(observação: usar \operatorname{atan2} cuida do sinal correto quando 4-\omega^{2} muda de sinal).
Assim a resposta de fase é
\boxed{\angle H(j\omega)=\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right)-\arctan\!\left(\frac{5\omega}{4-\omega^{2}}\right).}

Passo 6

Agora aplicamos ao caso específico da entrada \;5\cos\left(2t+30^\circ\right).
Identificamos:
A=5,\qquad \omega=2,\qquad \varphi_{\text{in}}=30^\circ.

Passo 7

Calcular o módulo em \omega=2:
\omega^{2}+4=2^{2}+4=4+4=8,
4-\omega^{2}=4-4=0,
(4-\omega^{2})^{2}+25\omega^{2}=0^{2}+25\cdot 4=100.
Logo
|H(j2)|=\sqrt{\frac{8}{100}}=\sqrt{\frac{8}{100}}=\frac{\sqrt{8}}{10}=\frac{2\sqrt{2}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{5}\approx 0{,}2828427.
Amplitude da saída:
A_{\text{out}}=A\cdot|H(j2)|=5\cdot\frac{\sqrt{2}}{5}=\sqrt{2}\approx1{,}4142136.

Passo 8

Calcular a fase em \omega=2:
\angle N=\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right)=\arctan\!\left(\frac{2}{2}\right)=\arctan(1)=45^\circ.
Para o denominador, como 4-\omega^{2}=0 e 5\omega=10>0, o número complexo D tem parte real zero e parte imaginária positiva, portanto
\angle D=+90^\circ.
Logo a fase do sistema em \omega=2 é
\angle H(j2)=45^\circ-90^\circ=-45^\circ.
Fase da saída:
\varphi_{\text{out}}=\varphi_{\text{in}}+\angle H(j2)=30^\circ+(-45^\circ)=-15^\circ.
Em radianos, -15^\circ=-\pi/12.

Passo 9

Escrever a resposta em regime permanente (saída) explicitamente:
y_{\text{ss}}(t)=A_{\text{out}}\cos\big(\omega t+\varphi_{\text{out}}\big)=\sqrt{2}\cos\!\big(2t-15^\circ\big).
Também pode ser escrita em radianos:
y_{\text{ss}}(t)=\sqrt{2}\cos\!\left(2t-\frac{\pi}{12}\right).

Resposta

|H(j\omega)|=\sqrt{\dfrac{\omega^{2}+4}{(4-\omega^{2})^{2}+25\omega^{2}}}
\displaystyle \angle H(j\omega)=\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right)-\arctan\!\left(\frac{5\omega}{4-\omega^{2}}\right)
\displaystyle y_{\text{ss}}(t)=\sqrt{2}\cos\!\left(2t-15^\circ\right)

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