Para um sistema LTIC descrito pela seguinte função de transferência:
Encontre a equação para a resposta de amplitude e de fase e calcule a resposta para cada uma das seguintes entradas:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência do sistema:
e pede duas coisas:
- Encontrar a equação da resposta de amplitude (módulo) e da resposta de fase (ângulo) em função da frequência
. - Calcular a resposta do sistema quando a entrada é
.
Informações relevantes que temos:
- A entrada é uma cossenoide de amplitude
, pulsação (rad/s) e fase inicial . - Para determinar a resposta em regime permanente a senóides usa-se a substituição
e a resposta em frequência .
Passo 2
Conceito-chave (explicado devagar): para um sistema linear, invariante no tempo e causal, quando a entrada é uma senóide
a saída em regime permanente (após transitórios) também é uma senóide com a mesma frequência, amplitude escalada por
e fase somada à fase de
. Em fórmula:
Aqui:
-
é a amplitude da entrada, -
é a pulsação (rad/s), -
é a fase da entrada (radianos ou graus), -
é o ganho em módulo na frequência , -
é a fase do sistema nessa .
Portanto o procedimento é: avaliar
, extrair módulo e fase, e aplicar a fórmula acima.
Passo 3
Substituir
em
e separar parte real e imaginária para poder achar módulo e fase:
Calcule o denominador:
Então escrevemos numerador e denominador em forma
:
Passo 4
Determinar o módulo
. Para um quociente de complexos,
Substituindo as partes reais e imaginárias:
Portanto a resposta de amplitude (função de
) é
Passo 5
Determinar a fase
. A fase de um quociente é a diferença das fases:
Para um número complexo
,
. Aqui:
(observação: usar
cuida do sinal correto quando
muda de sinal).
Assim a resposta de fase é
Assim a resposta de fase é
Passo 6
Agora aplicamos ao caso específico da entrada
.
Identificamos:
Identificamos:
Passo 7
Calcular o módulo em
:
Logo
Amplitude da saída:
Passo 8
Calcular a fase em
:
Para o denominador, como
e
, o número complexo
tem parte real zero e parte imaginária positiva, portanto
Logo a fase do sistema em
é
Fase da saída:
Em radianos,
.
Passo 9
Escrever a resposta em regime permanente (saída) explicitamente:
Também pode ser escrita em radianos: