Calcule o valor de k para que o sistema linear homogêneo admita apenas soluções próprias.
S=\left\{\begin{array}{c} x-y-z=0 \\ x-2 y-2 z=0 \\ 2 x+k y+z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} x - y - z = 0,\\\ x - 2y - 2z = 0,\\\\ 2x + k\,y + z = 0. \end{cases}
Queremos que ele admita soluções próprias (isto é, além da trivial x=y=z=0, tenha soluções não-triviais). Para sistemas homogêneos, isso ocorre se e somente se a matriz de coeficientes for singular.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\\\ 1 & -2 & -2\\\\ 2 & k & 1 \end{pmatrix}
e impomos a condição de singularidade:
\det(A)=0.

Passo 3

Calculamos o determinante por cofactores ao longo da primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\\ k & 1\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -2\\\\ 2 & 1\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -2\\\\ 2 & k\end{pmatrix}.
Isso dá
\det(A) =1\bigl(-2\cdot1 -(-2)\cdot k\bigr) +1\bigl(1\cdot1 -(-2)\cdot2\bigr) -1\bigl(1\cdot k -(-2)\cdot2\bigr)
\det(A) =(-2+2k)+(1+4)-(k+4) =2k-2+5-k-4 =k-1.
Portanto, \det(A)=0 implica
k-1=0 \quad\Longrightarrow\quad k=1.

Resposta

k=1

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