\begin{cases} x - y - z = 0,\\\ x - 2y - 2z = 0,\\\\ 2x + k\,y + z = 0, \end{cases}
e pede o valor de k para que existam soluções próprias (isto é, não-triviais). Em Álgebra Linear, um sistema homogêneo tem solução não-trivial se, e somente se, a matriz dos coeficientes for singular, ou seja, se o seu determinante for zero.
Passo 2
Montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\\\ 1 & -2 & -2\\\\ 2 & k & 1 \end{pmatrix}