Calcule o valor de k para que o sistema linear homogêneo admita apenas soluções próprias.
S=\left\{\begin{array}{c} x-y-z=0 \\ x-2 y-2 z=0 \\ 2 x+k y+z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo
\begin{cases} x - y - z = 0,\\\ x - 2y - 2z = 0,\\\\ 2x + k\,y + z = 0, \end{cases}
e pede o valor de k para que existam soluções próprias (isto é, não-triviais). Em Álgebra Linear, um sistema homogêneo tem solução não-trivial se, e somente se, a matriz dos coeficientes for singular, ou seja, se o seu determinante for zero.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\\\ 1 & -2 & -2\\\\ 2 & k & 1 \end{pmatrix}
e calculamos
\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1\\\\ 1 & -2 & -2\\\\ 2 & k & 1 \end{vmatrix} = 1\,( -2\cdot 1 -(-2)\,k ) -(-1)\,( 1\cdot 1 -(-2)\cdot 2 ) +(-1)\,( 1\cdot k -(-2)\cdot 2 ).
Dentro dos parênteses:
-2 -(-2k)=2k-2,\quad 1+4=5,\quad k+4.
Logo
\det(A) = (2k-2) + 5 - (k+4) = k - 1.

Passo 3

Impondo \det(A)=0 para ter soluções não-triviais, vem
k - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = 1.

Resposta

k = 1

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