Calcule o valor de:
3^{1-\log _{3} 6}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor de \;3^{1-\log_{3}6}.
Informações dadas:
  • A base da potência é \;3.
  • O expoente é \;1-\log_{3}6.
  • Não há outras informações numéricas no enunciado.

Passo 2

Vamos usar a propriedade de potências que diz como separar uma diferença no expoente. Em geral, para qualquer base positiva a e números reais b e c,
a^{b-c} = \frac{a^{b}}{a^{c}}.
Aqui a=3, b=1 e c=\log_{3}6. Aplicando:
3^{1-\log_{3}6}=\frac{3^{1}}{3^{\log_{3}6}}=\frac{3}{3^{\log_{3}6}}.
Explicação da fórmula: a regra vem de que a^{b-c}=a^{b}\cdot a^{-c}=a^{b}/a^{c}. É uma manipulação direta das leis de potências.

Passo 3

Agora usamos a relação entre exponencial e logaritmo. Por definição, \log_{3}6 é o expoente que faz 3^{\log_{3}6}=6. Ou seja,
3^{\log_{3}6}=6.
Explicação do conceito: \log_{a}x é o número y tal que a^{y}=x. Assim, elevar a a \log_{a}x recupera x.

Passo 4

Substituindo 3^{\log_{3}6}=6 na expressão obtida no Passo 2:
3^{1-\log_{3}6}=\frac{3}{3^{\log_{3}6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Outra forma alternativa (checagem): usar a propriedade do logaritmo do produto
\log_{3}6=\log_{3}(2\cdot3)=\log_{3}2+\log_{3}3=\log_{3}2+1.
Então
1-\log_{3}6=1-(1+\log_{3}2)=-\log_{3}2,
portanto
3^{1-\log_{3}6}=3^{-\log_{3}2}=\left(3^{\log_{3}2}\right)^{-1}=2^{-1}=\frac{1}{2},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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