Seja
a função dada para
por
. Explique por que
não existe.
Passo 1
O enunciado dá a função definida em
por
A pergunta é: explicar por que
não existe.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão explícita de
para todos os pontos exceto . - O ponto em que se quer o limite é
. - Não há valor dado para
— o que importa aqui é apenas o comportamento quando se aproxima de .
Passo 2
Lembrete — critério prático para mostrar que um limite em várias variáveis NÃO existe: se encontrarmos duas curvas (ou caminhos) que chegam a
ao longo das quais
tende a valores diferentes, então o limite em
não existe.
Explicando por que isso é válido, de maneira simples: a existência do limite
exigiria que, para qualquer sequência
(ou qualquer caminho), os valores
tendessem ao mesmo
. Se acharmos dois caminhos com limites distintos, isso contradiz a unicidade de
, logo o limite global não existe.
Vou aplicar esse método: escolher caminhos simples que levam a
e calcular o valor limite de
ao longo deles.
Passo 3
Primeiro caminho: a reta
.
Ao longo desse caminho, para
tem-se
Como
para todo
suficientemente pequeno, o limite de
quando
seguindo
é
Passo 4
Segundo caminho: a curva
.
Para
pequena, substituindo
em
obtemos
Note que aqui houve simplificação por
(válida porque estamos tomando
ao longo do caminho). Portanto
para todo
, e assim o limite ao longo desse caminho é
Passo 5
Interpretação das duas conclusões: pelo Passo 3 o limite ao longo de
é
. Pelo Passo 4 o limite ao longo de
é
. Como
, temos dois caminhos que chegam a
mas produzem limites diferentes para
. Logo o limite
não pode existir (se existisse teria que ser o mesmo independentemente do caminho).
Observação adicional (didática): na verdade existe uma família contínua de caminhos do tipo
(com constante real
) que leva a
Variação de
produz diferentes limites
, mostrando ainda mais fortemente a não existência do limite único.
Resposta
O limite não existe.