Seja f(x, y) a função dada para (x, y) \neq(0,0) por f(x, y)=\frac{x y^{4}}{x^{2}+y^{8}}. Explique por que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) não existe.

Passo 1

O enunciado dá a função definida em (x,y)\neq(0,0) por
f(x,y)=\frac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{8}}.
A pergunta é: explicar por que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão explícita de f(x,y) para todos os pontos exceto (0,0).
  • O ponto em que se quer o limite é (0,0).
  • Não há valor dado para f(0,0) — o que importa aqui é apenas o comportamento quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Lembrete — critério prático para mostrar que um limite em várias variáveis NÃO existe: se encontrarmos duas curvas (ou caminhos) que chegam a (0,0) ao longo das quais f(x,y) tende a valores diferentes, então o limite em (0,0) não existe.
Explicando por que isso é válido, de maneira simples: a existência do limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L exigiria que, para qualquer sequência (x_n,y_n)\to(0,0) (ou qualquer caminho), os valores f(x_n,y_n) tendessem ao mesmo L. Se acharmos dois caminhos com limites distintos, isso contradiz a unicidade de L, logo o limite global não existe.
Vou aplicar esse método: escolher caminhos simples que levam a (0,0) e calcular o valor limite de f ao longo deles.

Passo 3

Primeiro caminho: a reta x=0.
Ao longo desse caminho, para y\neq 0 tem-se
f(0,y)=\frac{0\cdot y^{4}}{0^{2}+y^{8}}=0.
Como f(0,y)=0 para todo y\neq 0 suficientemente pequeno, o limite de f quando (x,y)\to(0,0) seguindo x=0 é
\lim_{y\to 0} f(0,y)=0.

Passo 4

Segundo caminho: a curva x=y^{4}.
Para y\neq 0 pequena, substituindo x=y^{4} em f obtemos
f(y^{4},y)=\frac{y^{4}\cdot y^{4}}{(y^{4})^{2}+y^{8}}=\frac{y^{8}}{y^{8}+y^{8}}=\frac{y^{8}}{2y^{8}}=\frac{1}{2}.
Note que aqui houve simplificação por y^{8} (válida porque estamos tomando y\neq 0 ao longo do caminho). Portanto f(y^{4},y)=\tfrac{1}{2} para todo y\neq 0, e assim o limite ao longo desse caminho é
\lim_{y\to 0} f(y^{4},y)=\frac{1}{2}.

Passo 5

Interpretação das duas conclusões: pelo Passo 3 o limite ao longo de x=0 é 0. Pelo Passo 4 o limite ao longo de x=y^{4} é \tfrac{1}{2}. Como 0\neq\tfrac{1}{2}, temos dois caminhos que chegam a (0,0) mas produzem limites diferentes para f. Logo o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não pode existir (se existisse teria que ser o mesmo independentemente do caminho).
Observação adicional (didática): na verdade existe uma família contínua de caminhos do tipo x=k\,y^{4} (com constante real k) que leva a
f(k y^{4},y)=\frac{k\,y^{8}}{k^{2}y^{8}+y^{8}}=\frac{k}{k^{2}+1}.
Variação de k produz diferentes limites \tfrac{k}{k^{2}+1}, mostrando ainda mais fortemente a não existência do limite único.

Resposta

O limite não existe.

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