Calcule o valor de:
9^{2-\log _{3} \sqrt{2}}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor da expressão
9^{2-\log_{3}\sqrt{2}}.
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
  • A base é 9.
  • O expoente é 2-\log_{3}\sqrt{2}.
    A pergunta é: qual é o valor numérico dessa expressão?

Passo 2

Primeira ideia útil: escrever a base 9 como potência de 3. Observação simples:
9 = 3^2.
Regra de potência que vamos usar: (a^m)^n = a^{mn}. Um exemplo curto para fixar: (2^3)^2 = 2^{3\cdot2}=2^6.
Aplicando isso à nossa expressão:
9^{2-\log_{3}\sqrt{2}} = \bigl(3^2\bigr)^{2-\log_{3}\sqrt{2}} = 3^{2\bigl(2-\log_{3}\sqrt{2}\bigr)}.

Passo 3

Distribuindo o 2 no expoente:
3^{2\bigl(2-\log_{3}\sqrt{2}\bigr)} = 3^{4 - 2\log_{3}\sqrt{2}}.
Agora simplificamos \log_{3}\sqrt{2}. Lembrando a propriedade dos logaritmos: \log_b x^c = c\log_b x. Como \sqrt{2} = 2^{1/2}, temos
\log_{3}\sqrt{2} = \log_{3}2^{1/2} = \tfrac{1}{2}\log_{3}2.
Portanto
2\log_{3}\sqrt{2} = 2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\log_{3}2\right) = \log_{3}2.
Substituindo no expoente:
3^{4 - 2\log_{3}\sqrt{2}} = 3^{4 - \log_{3}2}.

Passo 4

Agora usamos duas regras:
  1. a^{m-n} = \dfrac{a^{m}}{a^{n}}.
  2. a^{\log_{a}x} = x (esta é a relação básica entre exponenciação e logaritmo que “inverte” o logaritmo na mesma base).
Aplicando 1) ao nosso caso:
3^{4 - \log_{3}2} = \frac{3^4}{3^{\log_{3}2}}.
Aplicando 2) com a=3 e x=2:
3^{\log_{3}2} = 2.
Logo
\frac{3^4}{3^{\log_{3}2}} = \frac{3^4}{2}.

Passo 5

Calculando 3^4:
3^4 = 81.
Portanto o valor final é
\frac{81}{2}.

Resposta

\dfrac{81}{2} = 40,5

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