Calcule o valor médio e o valor eficaz (mostre os cálculos!) para os seguintes sinais:
v(t)=V_{o} \cos (\omega t+\theta), para todo t real. (Tensão Alternada - AC);

Passo 1

O enunciado pede dois valores para o sinal v(t)=V_{o}\cos(\omega t+\theta), válido para todo t real:
  1. O valor médio (média temporal) de v(t).
  2. O valor eficaz (RMS — root mean square) de v(t).
Informações dadas e notações que vamos usar:
  • V_{o} é a amplitude (valor de pico) da tensão.
  • \omega é a frequência angular, com período T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
  • \theta é a fase inicial.
  • O sinal é periódico com período T, então podemos calcular médias integrando sobre um período.

Passo 2

Definição do valor médio para um sinal periódico: o valor médio de v(t) sobre um período é
\overline{v}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} v(t)\,dt.
Explicação: escolhemos qualquer t_{0} (por causa da periodicidade); vou escolher t_{0}=0 para simplificar. Substituindo v(t)=V_{o}\cos(\omega t+\theta) na definição:
\overline{v}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} V_{o}\cos(\omega t+\theta)\,dt.

Passo 3

Cálculo da integral do valor médio (mostrando tudo passo a passo).
Primeiro, tire V_{o} e 1/T fora da integral:
\overline{v}=\frac{V_{o}}{T}\int_{0}^{T}\cos(\omega t+\theta)\,dt.
A primitiva de \cos(\omega t+\theta) em relação a t é \dfrac{1}{\omega}\sin(\omega t+\theta). Portanto:
\overline{v}=\frac{V_{o}}{T}\left[\frac{1}{\omega}\sin(\omega t+\theta)\right]_{0}^{T}.
Avaliaremos a expressão nos limites t=0 e t=T. Como T=\dfrac{2\pi}{\omega}, temos \omega T=2\pi. Assim:
\sin(\omega T+\theta)=\sin(2\pi+\theta)=\sin(\theta).
Logo,
\left.\frac{1}{\omega}\sin(\omega t+\theta)\right|_{0}^{T}=\frac{1}{\omega}\big(\sin(\theta)-\sin(\theta)\big)=0.
Portanto
\overline{v}=0.
Comentário didático: isso mostra que o valor médio de uma senóide pura é zero, independentemente de \theta. Intuitivamente, as áreas positivas e negativas ao longo de um período se cancelam.

Passo 4

Definição do valor eficaz (RMS) para um sinal periódico: o valor eficaz é
V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} \big(v(t)\big)^{2}\,dt}.
Novamente escolhemos t_{0}=0. Substituindo v(t)=V_{o}\cos(\omega t+\theta):
V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} V_{o}^{2}\cos^{2}(\omega t+\theta)\,dt}.
Tirando V_{o}^{2} para fora da raiz (com cuidado: ficará V_{o} multiplicando a raiz):
V_{\text{rms}}=V_{o}\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos^{2}(\omega t+\theta)\,dt}.

Passo 5

Cálculo da integral para o RMS (mostrando a identidade usada).
Usamos a identidade trigonométrica
\cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Aplicando com x=\omega t+\theta:
\cos^{2}(\omega t+\theta)=\frac{1+\cos(2\omega t+2\theta)}{2}.
Substituindo na integral:
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos^{2}(\omega t+\theta)\,dt =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{1+\cos(2\omega t+2\theta)}{2}\,dt =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{T}\int_{0}^{T}1\,dt+\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos(2\omega t+2\theta)\,dt\right].
A primeira integral é simples:
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}1\,dt=\frac{1}{T}\cdot T=1.
A segunda integral é do mesmo tipo que calculamos para a média da senóide; a primitiva de \cos(2\omega t+2\theta) é \dfrac{1}{2\omega}\sin(2\omega t+2\theta) e, como 2\omega T=4\pi, a avaliação nos limites dá zero:
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos(2\omega t+2\theta)\,dt=0.
Portanto
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos^{2}(\omega t+\theta)\,dt=\frac{1}{2}.
Voltando ao RMS:
V_{\text{rms}}=V_{o}\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{V_{o}}{\sqrt{2}}.
Comentário didático: o termo com \cos(2\omega t+2\theta) representa uma componente oscilatória cuja média em um período é zero; sobra apenas o fator constante 1/2.

Passo 6

Observações finais rápidas e intuição:
  • O valor médio \overline{v}=0 porque a sinodal positiva e negativa se cancelam em cada período.
  • O valor eficaz V_{\text{rms}}=\dfrac{V_{o}}{\sqrt{2}} é a medida “equivalente DC” que entregaria a mesma potência média em uma carga resistiva; isso não depende de \theta nem de onde começamos a integrar.
  • Exemplo numérico rápido (apenas para intuir): se V_{o}=10\\ \text{V}, então V_{\text{rms}}=10/\sqrt{2}\approx 7{,}07\\ \text{V}.

Resposta

Valor médio: \overline{v}=0\n
Valor eficaz: V_{\text{rms}}=\dfrac{V_{o}}{\sqrt{2}}

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