Calcule o valor médio e o valor eficaz (mostre os cálculos!) para os seguintes sinais: v(t)=V_{o} \cos (\omega t+\theta), para todo t real. (Tensão Alternada - AC);
Passo 1
O enunciado pede dois valores para o sinal v(t)=V_{o}\cos(\omega t+\theta), válido para todo t real:
O valor médio (média temporal) de v(t).
O valor eficaz (RMS — root mean square) de v(t).
Informações dadas e notações que vamos usar:
V_{o} é a amplitude (valor de pico) da tensão.
\omega é a frequência angular, com período T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
\theta é a fase inicial.
O sinal é periódico com período T, então podemos calcular médias integrando sobre um período.
Passo 2
Definição do valor médio para um sinal periódico: o valor médio de v(t) sobre um período é
Explicação: escolhemos qualquer t_{0} (por causa da periodicidade); vou escolher t_{0}=0 para simplificar. Substituindo v(t)=V_{o}\cos(\omega t+\theta) na definição:
Comentário didático: isso mostra que o valor médio de uma senóide pura é zero, independentemente de \theta. Intuitivamente, as áreas positivas e negativas ao longo de um período se cancelam.
Passo 4
Definição do valor eficaz (RMS) para um sinal periódico: o valor eficaz é
A segunda integral é do mesmo tipo que calculamos para a média da senóide; a primitiva de \cos(2\omega t+2\theta) é \dfrac{1}{2\omega}\sin(2\omega t+2\theta) e, como 2\omega T=4\pi, a avaliação nos limites dá zero:
Comentário didático: o termo com \cos(2\omega t+2\theta) representa uma componente oscilatória cuja média em um período é zero; sobra apenas o fator constante 1/2.
Passo 6
Observações finais rápidas e intuição:
O valor médio \overline{v}=0 porque a sinodal positiva e negativa se cancelam em cada período.
O valor eficaz V_{\text{rms}}=\dfrac{V_{o}}{\sqrt{2}} é a medida “equivalente DC” que entregaria a mesma potência média em uma carga resistiva; isso não depende de \theta nem de onde começamos a integrar.
Exemplo numérico rápido (apenas para intuir): se V_{o}=10\\ \text{V}, então V_{\text{rms}}=10/\sqrt{2}\approx 7{,}07\\ \text{V}.
Resposta
Valor médio: \overline{v}=0\n
Valor eficaz: V_{\text{rms}}=\dfrac{V_{o}}{\sqrt{2}}