Calcule o valor médio e o valor eficaz (mostre os cálculos!) para os seguintes sinais:
v(t)=V_{o}, para todo t real. (Tensão contínua- DC);

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o valor médio e o valor eficaz (RMS) do sinal v(t)=V_{o} definido para todo t real. Informações dadas:
  • v(t)=V_{o}, onde V_{o} é uma constante real (tensão contínua).
  • Não há outras dependências com t; o sinal é constante para todo o tempo.

Passo 2

Defino o que é o valor médio de um sinal ao longo de um período. Para um sinal periódico (ou, no nosso caso, constante), o valor médio é dado por
\bar{v}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} v(t)\,dt,
onde T>0 é um intervalo de integração (um período qualquer) e t_{0} é o instante inicial. Explicando as variáveis:
  • \bar{v} é o valor médio (média temporal) do sinal.
  • T é o comprimento do intervalo sobre o qual eu faço a média (para sinais periódicos, escolhe-se um período; para DC qualquer T serve).
  • t_{0} é o instante inicial do intervalo; no caso de sinal constante o resultado não depende de t_{0}.

Passo 3

Calculo o valor médio substituindo v(t)=V_{o} na fórmula:
\bar{v}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} V_{o}\,dt.
Como V_{o} é constante, a integral é simples: \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} V_{o}\,dt=V_{o}\cdot (t_{0}+T-t_{0})=V_{o}T. Logo
\bar{v}=\frac{1}{T}\cdot V_{o}T=V_{o}.
Interpretação prática: o valor médio de uma tensão contínua constante é ela mesma. Se V_{o} for negativo, a média também será negativa.

Passo 4

Defino o que é o valor eficaz (RMS, root mean square). A definição é
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} [v(t)]^{2}\,dt}.
Explicando: primeiro eu elevo o sinal ao quadrado (para tornar todos os valores não-negativos), faço a média (divido por T), e depois tomo a raiz quadrada para voltar à unidade original do sinal. O RMS mede a “potência equivalente” do sinal.

Passo 5

Calculo o RMS para v(t)=V_{o}. Substituo na fórmula:
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} V_{o}^{2}\,dt}.
Como V_{o}^{2} é constante, \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} V_{o}^{2}\,dt=V_{o}^{2}T. Então
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\cdot V_{o}^{2}T}=\sqrt{V_{o}^{2}}=|V_{o}|.
Comentário didático: a raiz de V_{o}^{2} é o valor absoluto |V_{o}|, porque a RMS é sempre não negativa. Se V_{o}\ge 0, então v_{\mathrm{rms}}=V_{o}; se V_{o}<0, então v_{\mathrm{rms}}=-V_{o} (a mesma magnitude, sinal positivo).

Passo 6

Exemplos numéricos rápidos para fixar:
  • Se V_{o}=5\\ \text{V}, então \bar{v}=5\\ \text{V} e v_{\mathrm{rms}}=5\\ \text{V}.
  • Se V_{o}=-12\\ \text{V}, então \bar{v}=-12\\ \text{V} e v_{\mathrm{rms}}=12\\ \text{V}.

Resposta

\bar{v}=V_{o}
v_{\mathrm{rms}}=|V_{o}|

Exercícios relacionados