No plano Oxy (z=0) existe uma corrente dada por sua densidade linear J=J i, que se estabelece em todo o plano infinito O x y. Calcule o campo \mathbf{H} que se forma em ambos os lados do plano ( z<0 e \quad z>0 ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Informação: existe no plano z=0 (plano Oxy) uma corrente distribuída ao longo do plano infinito com densidade dada por \mathbf{J}=J\,\hat{\mathbf{i}}.
  • Observação: o enunciado chama de “densidade linear”, mas a corrente está confinada ao plano z=0. Vou interpretar isso como uma densidade superficial de corrente (surface current density) \mathbf{K} no plano, com \mathbf{K}=J\,\hat{\mathbf{i}}. Se o problema quisesse uma distribuição volumétrica, teria sido informado para z\neq0; aqui a corrente está apenas em z=0.
  • Pedido: calcular o campo magnético \mathbf{H} que se forma em ambos os lados do plano, ou seja para z>0 e para z<0.

Passo 2

Entendendo fisicamente o problema (sem resolver ainda): temos uma folha infinita (plano) no plano z=0 que carrega uma corrente uniforme ao longo da direção x. Por simetria, o campo magnético só pode depender de z (distância à folha) e, por regra da mão direita, ficará tangencial ao plano, na direção y. Em outras palavras esperamos \mathbf{H}(z)=H_y(z)\,\hat{\mathbf{y}}, com H_y constante em cada lado do plano (porque a folha é infinita e uniforme).

Passo 3

Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Lei de Ampère (no regime estacionário, formulada para \mathbf{H}):
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a superfície limitada pela curva \mathcal{C}.
  • Condição de contorno para uma corrente superficial \mathbf{K} na interface (obtida a partir da Lei de Ampère ao tomar um laço que atravessa a superfície):
\hat{\mathbf{n}}\times\bigl(\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1\bigr)=\mathbf{K},
onde \hat{\mathbf{n}} é o vetor normal que aponta da região 1 para a região 2, \mathbf{H}_1 é o campo à face inferior da folha e \mathbf{H}_2 o campo à face superior. Essa condição diz que a componente tangencial de \mathbf{H} sofre um salto cujo rotacional é a corrente superficial.
  • Relação em vácuo entre \mathbf{B} e \mathbf{H}, caso precise:
\mathbf{B}=\mu_0\,\mathbf{H},
onde \mu_0 é a permissividade magnética do vácuo. (Aqui pediram \mathbf{H}, então só cito \mathbf{B} por completude.)

Passo 4

Aplicando a simetria para escolher a forma do campo:
  • Como a folha é infinita e a corrente é uniforme ao longo de x, não há dependência de x nem de y. O único eixo distinto é z.
  • Pelo regra da mão direita (ou pelo produto vetorial que relaciona corrente e campo), o campo magnético gerado por uma corrente na direção x será na direção \pm y. Assim assumimos a forma
\mathbf{H}(z)=H_y(z)\,\hat{\mathbf{y}}.
  • Esperamos que H_y(z) seja constante para z>0 e outra constante para z<0, já que para uma folha infinita o campo não varia com a distância (lembrar: campo de uma folha infinita de corrente é uniforme em magnitude de cada lado).

Passo 5

Aplicando a condição de contorno para a folha em z=0:
  • Tome a normal \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{z}} apontando da região inferior ( z<0, chamada 1) para a região superior ( z>0, chamada 2). A corrente superficial é \mathbf{K}=J\,\hat{\mathbf{i}} (peguei J do enunciado, interpretado como densidade superficial de corrente).
  • A condição de contorno diz:
\hat{\mathbf{z}}\times\bigl(\mathbf{H}_{z>0}-\mathbf{H}_{z<0}\bigr)=\mathbf{K}=J\,\hat{\mathbf{i}}.
  • Escrevendo \mathbf{H}_{z>0}=H_+\hat{\mathbf{y}} e \mathbf{H}_{z<0}=H_-\hat{\mathbf{y}}, obtemos
\hat{\mathbf{z}}\times\bigl((H_+-H_-)\hat{\mathbf{y}}\bigr)=J\,\hat{\mathbf{i}}.
  • Calcule o produto vetorial: \hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{y}}=-\hat{\mathbf{x}}. Então
-(H_+-H_-)\,\hat{\mathbf{x}}=J\,\hat{\mathbf{x}}.
  • Igualando componentes em \hat{\mathbf{x}} resulta
-(H_+-H_-)=J \quad\Rightarrow\quad H_+-H_-=-J.

Passo 6

Usando simetria para determinar H_+ e H_- separadamente:
  • Pelo aspecto simétrico do problema (folha infinitamente longa e uniforme), o campo deve ter a mesma magnitude em ambos os lados do plano, apenas com sinal oposto (se não tivéssemos simetria, poderia haver campos diferentes, mas a simetria espelha as duas regiões). Portanto assumimos
H_+ = -H_- .
  • Juntando com a equação do passo anterior H_+ - H_- = -J, substituímos H_- = -H_+:
H_+ - (-H_+) = -J \quad\Rightarrow\quad 2H_+ = -J \quad\Rightarrow\quad H_+ = -\frac{J}{2}.
  • E então
H_- = -H_+ = +\frac{J}{2}.

Passo 7

Interpretação dos sinais (fácil check mental): como a corrente corre no sentido +\hat{\mathbf{x}}, pela regra da mão direita o campo acima da folha ( z>0) aponta no sentido -\hat{\mathbf{y}} e abaixo da folha ( z<0) aponta em +\hat{\mathbf{y}}. Isso coincide com os sinais obtidos.

Passo 8

Escrevendo a resposta final vetorialmente:
  • Para z>0:
\mathbf{H}(z)= -\frac{J}{2}\,\hat{\mathbf{y}}.
  • Para z<0:
\mathbf{H}(z)= +\frac{J}{2}\,\hat{\mathbf{y}}.

Resposta

\mathbf{H}(z>0)=-\dfrac{J}{2}\,\hat{\mathbf{y}}
\mathbf{H}(z<0)=+\dfrac{J}{2}\,\hat{\mathbf{y}}

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