No plano Oxy
existe uma corrente dada por sua densidade linear
i, que se estabelece em todo o plano infinito
. Calcule o campo
que se forma em ambos os lados do plano (
e
).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Informação: existe no plano
(plano ) uma corrente distribuída ao longo do plano infinito com densidade dada por . - Observação: o enunciado chama de “densidade linear”, mas a corrente está confinada ao plano
. Vou interpretar isso como uma densidade superficial de corrente (surface current density) no plano, com . Se o problema quisesse uma distribuição volumétrica, teria sido informado para ; aqui a corrente está apenas em . - Pedido: calcular o campo magnético
que se forma em ambos os lados do plano, ou seja para e para .
Passo 2
Entendendo fisicamente o problema (sem resolver ainda): temos uma folha infinita (plano) no plano
que carrega uma corrente uniforme ao longo da direção
. Por simetria, o campo magnético só pode depender de
(distância à folha) e, por regra da mão direita, ficará tangencial ao plano, na direção
. Em outras palavras esperamos
, com
constante em cada lado do plano (porque a folha é infinita e uniforme).
Passo 3
Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Lei de Ampère (no regime estacionário, formulada para
):
onde
é a corrente total atravessando a superfície limitada pela curva
.
- Condição de contorno para uma corrente superficial
na interface (obtida a partir da Lei de Ampère ao tomar um laço que atravessa a superfície):
onde
é o vetor normal que aponta da região 1 para a região 2,
é o campo à face inferior da folha e
o campo à face superior. Essa condição diz que a componente tangencial de
sofre um salto cujo rotacional é a corrente superficial.
- Relação em vácuo entre
e , caso precise:
onde
é a permissividade magnética do vácuo. (Aqui pediram
, então só cito
por completude.)
Passo 4
Aplicando a simetria para escolher a forma do campo:
- Como a folha é infinita e a corrente é uniforme ao longo de
, não há dependência de nem de . O único eixo distinto é . - Pelo regra da mão direita (ou pelo produto vetorial que relaciona corrente e campo), o campo magnético gerado por uma corrente na direção
será na direção . Assim assumimos a forma
- Esperamos que
seja constante para e outra constante para , já que para uma folha infinita o campo não varia com a distância (lembrar: campo de uma folha infinita de corrente é uniforme em magnitude de cada lado).
Passo 5
Aplicando a condição de contorno para a folha em
:
- Tome a normal
apontando da região inferior ( , chamada 1) para a região superior ( , chamada 2). A corrente superficial é (peguei do enunciado, interpretado como densidade superficial de corrente). - A condição de contorno diz:
- Escrevendo
e , obtemos
- Calcule o produto vetorial:
. Então
- Igualando componentes em
resulta
Passo 6
Usando simetria para determinar
e
separadamente:
- Pelo aspecto simétrico do problema (folha infinitamente longa e uniforme), o campo deve ter a mesma magnitude em ambos os lados do plano, apenas com sinal oposto (se não tivéssemos simetria, poderia haver campos diferentes, mas a simetria espelha as duas regiões). Portanto assumimos
- Juntando com a equação do passo anterior
, substituímos :
- E então
Passo 7
Interpretação dos sinais (fácil check mental): como a corrente corre no sentido
, pela regra da mão direita o campo acima da folha (
) aponta no sentido
e abaixo da folha (
) aponta em
. Isso coincide com os sinais obtidos.
Passo 8
Escrevendo a resposta final vetorialmente:
- Para
:
- Para
: