Calcule o valor numérico das expressões:
\frac{9^{3} \cdot 27^{4} \cdot 3^{-7}}{\frac{1}{3} \cdot 24.3^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\frac{9^{3}\cdot27^{4}\cdot3^{-7}}{\frac{1}{3}\cdot24\cdot3^{2}}
e vamos usar propriedades de potências para simplificar tudo em base 3.

Passo 2

No numerador, observe que 9=3^2 e 27=3^3. Logo,
9^3=(3^2)^3=3^6, \quad 27^4=(3^3)^4=3^{12}.
Assim o numerador fica
3^6\cdot3^{12}\cdot3^{-7}=3^{6+12-7}=3^{11}.

Passo 3

No denominador, temos
\frac{1}{3}\cdot24\cdot3^2 =24\cdot3^{2-1} =24\cdot3 =72.

Passo 4

Portanto a expressão inteira é
\frac{3^{11}}{72} =\frac{3^{11}}{8\cdot9} =\frac{3^{11}}{8\cdot3^2} =\frac{3^{11-2}}{8} =\frac{3^9}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{3^9}{8}
(o que equivale a \tfrac{19683}{8}\approx2460{,}375)

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