1. Calcule o valor de \operatorname{sen}\left(105^{\circ}\right), \operatorname{sec} \left(105^{\circ}\right), \cos \left(22^{\circ} 30^{\prime}\right), \operatorname{tg}\left(22^{\circ} 30^{\prime}\right), \cos \left(255^{\circ}\right).

Passo 1

O enunciado pede os valores de \sin(105^\circ), \operatorname{sec}(105^\circ), \cos(22^\circ30'), \tan(22^\circ30') e \cos(255^\circ). Para isso vamos usar fórmulas de soma e diferença de ângulos, além da fórmula de ângulo metade em casos de 22^\circ30'.

Passo 2

Para \sin(105^\circ) escrevemos 105^\circ = 60^\circ + 45^\circ e aplicamos \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b. Logo,
\sin(105^\circ) =\sin(60^\circ)\cos(45^\circ)+\cos(60^\circ)\sin(45^\circ) =\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.

Passo 3

Para \operatorname{sec}(105^\circ) primeiro achamos \cos(105^\circ) via \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b:
\cos(105^\circ) =\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}.
Então
\operatorname{sec}(105^\circ) =\frac1{\cos(105^\circ)} =\frac{4}{\sqrt2-\sqrt6} =-\bigl(\sqrt6+\sqrt2\bigr).

Passo 4

Para \cos(22^\circ30') notamos que 22^\circ30'=45^\circ/2 e usamos \cos\bigl(\tfrac\alpha2\bigr)=\sqrt{\tfrac{1+\cos\alpha}2}. Assim,
\cos(22^\circ30') =\sqrt{\frac{1+\cos(45^\circ)}2} =\sqrt{\frac{1+\tfrac{\sqrt2}{2}}2} =\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2.

Passo 5

Para \tan(22^\circ30') aplicamos a fórmula de meio ângulo \tan\bigl(\tfrac\alpha2\bigr)=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}
com \alpha=45^\circ, ou lembramos a identidade \tan(22^\circ30')=\sqrt2-1.

Passo 6

Para \cos(255^\circ) escrevemos 255^\circ=180^\circ+75^\circ e usamos \cos(180^\circ+\beta)=-\cos\beta. Com \beta=75^\circ=45^\circ+30^\circ e \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b obtemos
\cos(75^\circ) =\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4},
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\cos(255^\circ) =-\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4} =\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}.

Resposta

\sin(105^\circ)=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} \operatorname{sec}(105^\circ)=-\bigl(\sqrt6+\sqrt2\bigr) \cos(22^\circ30')=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \tan(22^\circ30')=\sqrt2-1 \cos(255^\circ)=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}

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