1. Se \operatorname{sen}(x)=m e \cos (x)=n, determine o valorde \operatorname{sen}(2 x), \cos (2 x) e \operatorname{tg}(2 x).

Passo 1

O enunciado dá \operatorname{sen}(x)=m e \cos(x)=n e pede \operatorname{sen}(2x), \cos(2x) e \operatorname{tg}(2x). Vamos usar as identidades trigonométricas de ângulo duplo:
\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}(x)\cos(x),
\cos(2x)=\cos^2(x)-\operatorname{sen}^2(x),
\operatorname{tg}(2x)=\frac{\operatorname{sen}(2x)}{\cos(2x)}.

Passo 2

Para \operatorname{sen}(2x) usamos
\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}(x)\cos(x).
Substituindo \operatorname{sen}(x)=m e \cos(x)=n, obtemos
\operatorname{sen}(2x)=2\,m\,n.

Passo 3

Para \cos(2x) usamos
\cos(2x)=\cos^2(x)-\operatorname{sen}^2(x).
Com \cos(x)=n e \operatorname{sen}(x)=m, vem
\cos(2x)=n^2-m^2.

Passo 4

Para \operatorname{tg}(2x) usamos
\operatorname{tg}(2x)=\frac{\operatorname{sen}(2x)}{\cos(2x)}.
Substituindo os valores que já achamos, obtemos
\operatorname{tg}(2x)=\frac{2\,m\,n}{\,n^2-m^2\,},
desde que n^2\neq m^2.

Resposta

\operatorname{sen}(2x)=2mn.
\cos(2x)=n^2-m^2.
\operatorname{tg}(2x)=\displaystyle\frac{2mn}{n^2-m^2}.

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