Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} x \sqrt{x^{2}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} x\sqrt{x^{2}-1}\,dx.
O conteúdo principal é a técnica de substituição em integrais. Vamos usar a substituição algébrica u=x^{2}-1 para simplificar o integrando.

Passo 2

Definimos
u = x^{2}-1,
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du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Quando x=\sqrt{2}, temos u=2-1=1.
Quando x=\sqrt{5}, temos u=5-1=4.

Passo 3

Substituindo na integral,
\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} x\sqrt{x^{2}-1}\,dx = \int_{u=1}^{u=4} \sqrt{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{4} u^{1/2}\,du.
Agora calculamos a primitiva de u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto,
\frac{1}{2}\int_{1}^{4} u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{4} = \frac{1}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{4}.

Passo 4

Avaliamo nos limites:
u^{3/2}\Big|_{1}^{4} = 4^{3/2}-1^{3/2} = (\,\sqrt{4}\,)^{3}-1 = 2^{3}-1 = 8-1 = 7.
Logo a integral vale
\frac{1}{3}\times 7 = \frac{7}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{3}

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