Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} x \sqrt{x^{2}-1} d x
\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} x \sqrt{x^{2}-1} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
O conteúdo principal é a técnica de substituição em integrais. Vamos usar a substituição algébrica
para simplificar o integrando.
Passo 2
Definimos
logo
Quando
, temos
.
Quando , temos
.
Quando
Passo 3
Substituindo na integral,
Agora calculamos a primitiva de
:
Portanto,
Passo 4
Avaliamo nos limites:
Logo a integral vale