Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{2} \sqrt{4 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
\int_{0}^{2} \sqrt{4x + 1}\,dx
Vamos usar o conteúdo de integração por substituição e a regra de potência para funções do tipo u^n.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 4x + 1,\quad du = 4\,dx,\quad dx = \frac{du}{4}.
Nos limites, quando x=0 temos u=1 e quando x=2 temos u=9.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{2} \sqrt{4x + 1}\,dx = \int_{1}^{9} \sqrt{u}\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int_{1}^{9} u^{\tfrac12}\,du.

Passo 4

Aplicando a regra de integração por potência:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}u^{\tfrac32}.
Logo,
\frac{1}{4}\int_{1}^{9} u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{4}\Bigl[\frac{2}{3}u^{\tfrac32}\Bigr]_{1}^{9} = \frac{1}{6}\bigl(9^{\tfrac32}-1^{\tfrac32}\bigr).

Passo 5

Calculando 9^{\tfrac32} = ( \sqrt{9}\,)^{3} = 3^3 = 27 e 1^{\tfrac32}=1, temos
\frac{1}{6}(27 - 1) = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{3}

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