Calcule o valor de \sum_{k=0}^{n} \frac{C_{n}^{k}}{k+1}.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado o somatório \displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{C_{n}^{k}}{k+1}.
  • Aqui n é um inteiro não-negativo (implicitamente), e C_{n}^{k} denota o coeficiente binomial.
  • A pergunta é: calcular esse somatório em forma fechada (uma expressão simples em função de n).

Passo 2

Relembrando a definição e uma ferramenta que vamos usar:
  • O coeficiente binomial \,C_{n}^{k}\, pode ser escrito como
C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
ou interpretado como o número de maneiras de escolher k objetos dentre n.
  • A identidade do binómio de Newton (teorema binomial) diz que, para qualquer inteiro n\ge0 e para todo x,
(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}.
Essa igualdade é chave porque relaciona somas de C_{n}^{k} com potências.

Passo 3

Transformação por integração (ideia principal):
  • Integramos ambos os lados da identidade binomial em relação a x no intervalo [0,1]. Como a soma à direita é finita, é legítimo trocar soma e integral.
  • Tomando a integral:
\int_{0}^{1}(1+x)^{n}\,dx=\int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}\,dx=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\int_{0}^{1}x^{k}\,dx.
  • Agora sabemos calcular \displaystyle \int_{0}^{1}x^{k}\,dx usando a regra da potência: para k\neq-1,
\int_{0}^{1}x^{k}\,dx=\left.\frac{x^{k+1}}{k+1}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{k+1}.
  • Portanto a soma aparece diretamente:
\sum_{k=0}^{n}\frac{C_{n}^{k}}{k+1}=\int_{0}^{1}(1+x)^{n}\,dx.

Passo 4

Cálculo explícito da integral:
  • Aplicando a regra da potência para a função (1+x)^{n}: uma primitiva é \dfrac{(1+x)^{n+1}}{n+1} (pois \dfrac{d}{dx}\dfrac{(1+x)^{n+1}}{n+1}=(1+x)^{n}).
  • Avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(1+x)^{n}\,dx=\left.\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}\right|_{0}^{1}=\frac{(1+1)^{n+1}-(1+0)^{n+1}}{n+1}=\frac{2^{\,n+1}-1}{n+1}.

Passo 5

Conclusão a partir da integral:
  • Juntando os resultados dos passos anteriores obtemos a expressão fechada pedida:
\sum_{k=0}^{n}\frac{C_{n}^{k}}{k+1}=\frac{2^{\,n+1}-1}{n+1}.

Passo 6

Método alternativo (curtinho) — identidade com coeficientes binomiais:
  • Usando a relação entre coeficientes:
C_{n+1}^{\,k+1}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}=\frac{n+1}{k+1}C_{n}^{k},
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\frac{C_{n}^{k}}{k+1}=\frac{1}{n+1}C_{n+1}^{\,k+1}.
  • Somando k=0 a n:
\sum_{k=0}^{n}\frac{C_{n}^{k}}{k+1}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}C_{n+1}^{\,k+1}=\frac{1}{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}C_{n+1}^{\,j}=\frac{1}{n+1}\bigl(2^{\,n+1}-1\bigr),
o que confirma o resultado anterior.

Passo 7

Verificação numérica rápida (exemplo para ganhar confiança):
  • Para n=2:
\sum_{k=0}^{2}\frac{C_{2}^{k}}{k+1}= \frac{C_{2}^{0}}{1}+\frac{C_{2}^{1}}{2}+\frac{C_{2}^{2}}{3} =1+\frac{2}{2}+\frac{1}{3}=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.
  • Pela fórmula:
\frac{2^{\,2+1}-1}{2+1}=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3},
concorda — bom sinal!

Resposta

\displaystyle \frac{2^{\,n+1}-1}{n+1}

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