Calcule o valor de
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado o somatório
. - Aqui
é um inteiro não-negativo (implicitamente), e denota o coeficiente binomial. - A pergunta é: calcular esse somatório em forma fechada (uma expressão simples em função de
).
Passo 2
Relembrando a definição e uma ferramenta que vamos usar:
- O coeficiente binomial
pode ser escrito como
ou interpretado como o número de maneiras de escolher
objetos dentre
.
- A identidade do binómio de Newton (teorema binomial) diz que, para qualquer inteiro
e para todo ,
Essa igualdade é chave porque relaciona somas de
com potências.
Passo 3
Transformação por integração (ideia principal):
- Integramos ambos os lados da identidade binomial em relação a
no intervalo . Como a soma à direita é finita, é legítimo trocar soma e integral. - Tomando a integral:
- Agora sabemos calcular
usando a regra da potência: para ,
- Portanto a soma aparece diretamente:
Passo 4
Cálculo explícito da integral:
- Aplicando a regra da potência para a função
: uma primitiva é (pois ). - Avaliando de
a :
Passo 5
Conclusão a partir da integral:
- Juntando os resultados dos passos anteriores obtemos a expressão fechada pedida:
Passo 6
Método alternativo (curtinho) — identidade com coeficientes binomiais:
- Usando a relação entre coeficientes:
logo
- Somando
a :
o que confirma o resultado anterior.
Passo 7
Verificação numérica rápida (exemplo para ganhar confiança):
- Para
:
- Pela fórmula:
concorda — bom sinal!