- Calcule o valor de
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do valor
Informações relevantes dadas:
- A soma é por
de até . - O objetivo é obter uma expressão fechada de
em função de (presume-se inteiro positivo).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: expandir o termo geral da soma para escrever
como soma de somas mais simples.
logo
Aqui usei a linearidade da soma: a soma da soma é soma das somas e constantes podem sair da soma.
Passo 3
Agora precisamos das fórmulas para
e
.
Começo pela soma dos primeiros inteiros:
uma demonstração simples (em prova/colégio) é emparelhar termos:
Começo pela soma dos primeiros inteiros:
uma demonstração simples (em prova/colégio) é emparelhar termos:
Se escrevermos essa soma na ordem inversa e somarmos termo a termo obtemos
pares iguais a
, então
portanto
Passo 4
Agora a soma dos quadrados
. Uma forma elegante é usar a soma das diferenças de cubos:
observe que
observe que
Somando essa igualdade para
até
temos, no lado esquerdo, uma telescopia:
No lado direito:
Como
e já conhecemos
, obtemos
Agora isolamos
. Primeiro simplificamos o lado direito os termos em
:
Logo
Passando o termo fracionário para o lado esquerdo e dividindo por
:
Fazendo as contas (ou usando a fórmula conhecida), isso simplifica para
(Se quiser, dá para verificar expandindo e agrupando termos; esta é a fórmula padrão para soma dos quadrados.)
Passo 5
Voltemos a
:
Substituindo as fórmulas obtidas:
Simplificar o primeiro termo:
Escrevendo ambos com denominador comum
:
Calcular a soma no parêntese:
Assim chegamos a
Passo 6
Cheque rápido com um exemplo numérico pequeno para ganhar confiança. Para
:
Pela fórmula:
confere.