1. Calcule o valor de
S=\sum_{k=1}^{n} k(2 k+1) .

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do valor
S=\sum_{k=1}^{n} k(2k+1).
Informações relevantes dadas:
  • A soma é por k de 1 até n.
  • O objetivo é obter uma expressão fechada de S em função de n (presume-se n inteiro positivo).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: expandir o termo geral da soma para escrever S como soma de somas mais simples.
k(2k+1)=2k^{2}+k,
logo
S=\sum_{k=1}^{n} \bigl(2k^{2}+k\bigr)=2\sum_{k=1}^{n}k^{2}+\sum_{k=1}^{n}k.
Aqui usei a linearidade da soma: a soma da soma é soma das somas e constantes podem sair da soma.

Passo 3

Agora precisamos das fórmulas para \sum_{k=1}^{n}k e \sum_{k=1}^{n}k^{2}.
Começo pela soma dos primeiros inteiros:
uma demonstração simples (em prova/colégio) é emparelhar termos:
1+2+\cdots+(n-1)+n.
Se escrevermos essa soma na ordem inversa e somarmos termo a termo obtemos n pares iguais a n+1, então
2\sum_{k=1}^{n}k = n(n+1),
portanto
\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.

Passo 4

Agora a soma dos quadrados \sum_{k=1}^{n}k^{2}. Uma forma elegante é usar a soma das diferenças de cubos:
observe que
(k+1)^{3}-k^{3}=3k^{2}+3k+1.
Somando essa igualdade para k=1 até k=n temos, no lado esquerdo, uma telescopia:
\sum_{k=1}^{n}\bigl((k+1)^{3}-k^{3}\bigr)=(n+1)^{3}-1.
No lado direito:
\sum_{k=1}^{n}\bigl(3k^{2}+3k+1\bigr)=3\sum_{k=1}^{n}k^{2}+3\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1.
Como \sum_{k=1}^{n}1=n e já conhecemos \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}, obtemos
(n+1)^{3}-1=3\sum_{k=1}^{n}k^{2}+3\cdot\frac{n(n+1)}{2}+n.
Agora isolamos \sum_{k=1}^{n}k^{2}. Primeiro simplificamos o lado direito os termos em n:
3\cdot\frac{n(n+1)}{2}+n=\frac{3n(n+1)+2n}{2}=\frac{3n^{2}+5n}{2}.
Logo
(n+1)^{3}-1=3\sum_{k=1}^{n}k^{2}+\frac{3n^{2}+5n}{2}.
Passando o termo fracionário para o lado esquerdo e dividindo por 3:
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{(n+1)^{3}-1}{3}-\frac{3n^{2}+5n}{6}.
Fazendo as contas (ou usando a fórmula conhecida), isso simplifica para
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
(Se quiser, dá para verificar expandindo e agrupando termos; esta é a fórmula padrão para soma dos quadrados.)

Passo 5

Voltemos a S:
S=2\sum_{k=1}^{n}k^{2}+\sum_{k=1}^{n}k.
Substituindo as fórmulas obtidas:
S=2\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}.
Simplificar o primeiro termo:
2\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}.
Escrevendo ambos com denominador comum 6:
S=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{3n(n+1)}{6}=\frac{n(n+1)\bigl(2(2n+1)+3\bigr)}{6}.
Calcular a soma no parêntese:
2(2n+1)+3=4n+2+3=4n+5.
Assim chegamos a
S=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}.

Passo 6

Cheque rápido com um exemplo numérico pequeno para ganhar confiança. Para n=3:
S=\sum_{k=1}^{3}k(2k+1)=1\cdot3+2\cdot5+3\cdot7=3+10+21=34.
Pela fórmula:
\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}=\frac{3\cdot4\cdot(12+5)}{6}=\frac{12\cdot17}{6}=\frac{204}{6}=34,
confere.

Resposta

\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}

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