Calcule o valor do vetor \vec{A}=x^{2} \cos \theta \hat{a}_{R}+2 y z \sin \varphi \hat{a}_{\theta} no ponto definido pelo vetor posição \vec{X}=-2 \hat{a}_{x}+3 \hat{a}_{y}+4 \hat{a}_{z}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor
\vec{A}=x^{2}\cos\theta\,\hat{a}_{R}+2 y z \sin\varphi\,\hat{a}_{\theta}
e o ponto (vetor posição)
\vec{X}=-2\,\hat{a}_{x}+3\,\hat{a}_{y}+4\,\hat{a}_{z}.
O que é pedido: calcular o valor numérico do vetor \vec{A} no ponto dado por \vec{X}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As coordenadas cartesianas do ponto são x=-2, y=3, z=4.
  • O vetor \vec{A} está escrito em função de \theta, \varphi e das componentes cartesianas x,y,z, e usa os versores \hat{a}_{R} e \hat{a}_{\theta}.
    Não há imagem. Vou avaliar \vec{A} nesse ponto e dar resposta tanto na base \{\hat{a}_{R},\hat{a}_{\theta}\} quanto na base cartesiana \{\hat{a}_{x},\hat{a}_{y},\hat{a}_{z}\}.

Passo 2

Primeiro calculemos os fatores que aparecem diretamente em \vec{A} usando x,y,z do ponto:
x=-2,\qquad y=3,\qquad z=4.
Portanto
x^{2}=(-2)^{2}=4, \qquad 2yz=2\cdot 3\cdot 4=24.

Passo 3

Temos fatores trigonométricos \cos\theta e \sin\varphi. Aqui adotamos a convenção esférica padrão (física): \theta é o ângulo polar medido a partir do eixo z (colatitude) e \varphi é o ângulo azimutal no plano xy (medido a partir do eixo x). Nessa convenção usam-se os versores \hat{a}_{R} (radial) e \hat{a}_{\theta} (direção de variação de \theta). Vou usar as fórmulas padrão que relacionam coordenadas cartesianas e funções trigonométricas esféricas:
Definições úteis (para um ponto com coordenadas cartesianas x,y,z):
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
As relações trigonométricas são
\cos\theta=\frac{z}{r},\qquad \sin\theta=\frac{\rho}{r}, \qquad \cos\varphi=\frac{x}{\rho},\qquad \sin\varphi=\frac{y}{\rho}.
Os versores esféricos (em notação \hat{a}_{R}\equiv\hat{a}_r, \hat{a}_{\theta}) em componentes cartesianas valem:
\hat{a}_{R}=\sin\theta\cos\varphi\,\hat{a}_x+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{a}_y+\cos\theta\,\hat{a}_z,
\hat{a}_{\theta}=\cos\theta\cos\varphi\,\hat{a}_x+\cos\theta\sin\varphi\,\hat{a}_y-\sin\theta\,\hat{a}_z.
(Explico: \hat{a}_{R} aponta radialmente e \hat{a}_{\theta} aponta na direção de aumento de \theta; essas expressões são as fórmulas padrão de conversão.)

Passo 4

Calculemos r, \rho e as funções trigonométricas no ponto x=-2,y=3,z=4:
r=\sqrt{(-2)^2+3^2+4^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29},
\rho=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
Então
\cos\theta=\frac{z}{r}=\frac{4}{\sqrt{29}}, \qquad \sin\theta=\frac{\rho}{r}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}},
\cos\varphi=\frac{x}{\rho}=\frac{-2}{\sqrt{13}}, \qquad \sin\varphi=\frac{y}{\rho}=\frac{3}{\sqrt{13}}.

Passo 5

Agora calculemos os coeficientes escalares de \vec{A} no ponto:
x^{2}\cos\theta = 4\cdot\frac{4}{\sqrt{29}}=\frac{16}{\sqrt{29}},
2yz\sin\varphi = 24\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{72}{\sqrt{13}}.
Portanto, na base esférica temos imediatamente
\vec{A}\big|_{\vec{X}}=\frac{16}{\sqrt{29}}\,\hat{a}_{R}+\frac{72}{\sqrt{13}}\,\hat{a}_{\theta}.
Isto já é uma resposta perfeitamente válida: substituímos x,y,z, \cos\theta e \sin\varphi.

Passo 6

Se for útil (por exemplo para usar em um cálculo que exige componentes cartesianas), convertemos \vec{A} para a base cartesiana usando as expressões dos versores.
Primeiro calculemos os componentes numéricos dos versores com os valores encontrados:
\hat{a}_{R}=\sin\theta\cos\varphi\,\hat{a}_x+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{a}_y+\cos\theta\,\hat{a}_z =\left(\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\cdot\frac{-2}{\sqrt{13}}\right)\hat{a}_x +\left(\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}\right)\hat{a}_y +\left(\frac{4}{\sqrt{29}}\right)\hat{a}_z.
Simplificando,
\hat{a}_{R}=-\frac{2}{\sqrt{29}}\,\hat{a}_x+\frac{3}{\sqrt{29}}\,\hat{a}_y+\frac{4}{\sqrt{29}}\,\hat{a}_z.
Agora \hat{a}_{\theta}:
\hat{a}_{\theta}=\cos\theta\cos\varphi\,\hat{a}_x+\cos\theta\sin\varphi\,\hat{a}_y-\sin\theta\,\hat{a}_z =\left(\frac{4}{\sqrt{29}}\cdot\frac{-2}{\sqrt{13}}\right)\hat{a}_x +\left(\frac{4}{\sqrt{29}}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}\right)\hat{a}_y -\left(\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\right)\hat{a}_z.
Simplificando,
\hat{a}_{\theta}=-\frac{8}{\sqrt{29}\sqrt{13}}\,\hat{a}_x+\frac{12}{\sqrt{29}\sqrt{13}}\,\hat{a}_y-\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\,\hat{a}_z.

Passo 7

Multiplicamos cada versor pelos seus coeficientes e somamos para obter as componentes cartesianas de \vec{A}.
Primeiro termo:
\frac{16}{\sqrt{29}}\hat{a}_{R} = \frac{16}{\sqrt{29}}\left(-\frac{2}{\sqrt{29}}\,\hat{a}_x+\frac{3}{\sqrt{29}}\,\hat{a}_y+\frac{4}{\sqrt{29}}\,\hat{a}_z\right) = -\frac{32}{29}\,\hat{a}_x+\frac{48}{29}\,\hat{a}_y+\frac{64}{29}\,\hat{a}_z.
Segundo termo:
\frac{72}{\sqrt{13}}\hat{a}_{\theta} = \frac{72}{\sqrt{13}}\left(-\frac{8}{\sqrt{29}\sqrt{13}}\,\hat{a}_x+\frac{12}{\sqrt{29}\sqrt{13}}\,\hat{a}_y-\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\,\hat{a}_z\right).
Simplificando (usando \sqrt{13}\sqrt{13}=13):
\frac{72}{\sqrt{13}}\hat{a}_{\theta} = -\frac{576}{13\sqrt{29}}\,\hat{a}_x+\frac{864}{13\sqrt{29}}\,\hat{a}_y-\frac{72}{\sqrt{29}}\,\hat{a}_z.
Somando os dois termos obtemos as componentes cartesianas:
\vec{A}\big|_{\vec{X}} =\left(-\frac{32}{29}-\frac{576}{13\sqrt{29}}\right)\hat{a}_x +\left(\frac{48}{29}+\frac{864}{13\sqrt{29}}\right)\hat{a}_y +\left(\frac{64}{29}-\frac{72}{\sqrt{29}}\right)\hat{a}_z.
Essas expressões são equivalentes à resposta na base esférica; deixei-as em forma exata (com raízes) para não depender de aproximações numéricas.

Resposta

\displaystyle \vec{A}\big|_{\vec{X}}=\frac{16}{\sqrt{29}}\,\hat{a}_{R}+\frac{72}{\sqrt{13}}\,\hat{a}_{\theta}
\displaystyle \vec{A}\big|_{\vec{X}}=\left(-\frac{32}{29}-\frac{576}{13\sqrt{29}}\right)\hat{a}_x+\left(\frac{48}{29}+\frac{864}{13\sqrt{29}}\right)\hat{a}_y+\left(\frac{64}{29}-\frac{72}{\sqrt{29}}\right)\hat{a}_z

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