Calcule o valor do vetor \vec{A}=x^{2} \cos \theta \hat{a}_{R}+2 y z \sin \varphi \hat{a}_{\theta} no ponto definido pelo vetor posição \vec{X}=-2 \hat{a}_{x}+3 \hat{a}_{y}+4 \hat{a}_{z}.
Passo 1
O enunciado dá o vetor \vec{A}=x^{2}\cos\theta\,\hat{a}_{R}+2 y z \sin\varphi\,\hat{a}_{\theta}
e o ponto (vetor posição) \vec{X}=-2\,\hat{a}_{x}+3\,\hat{a}_{y}+4\,\hat{a}_{z}.
O que é pedido: calcular o valor numérico do vetor \vec{A} no ponto dado por \vec{X}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As coordenadas cartesianas do ponto são x=-2, y=3, z=4.
O vetor \vec{A} está escrito em função de \theta, \varphi e das componentes cartesianas x,y,z, e usa os versores \hat{a}_{R} e \hat{a}_{\theta}.
Não há imagem. Vou avaliar \vec{A} nesse ponto e dar resposta tanto na base \{\hat{a}_{R},\hat{a}_{\theta}\} quanto na base cartesiana \{\hat{a}_{x},\hat{a}_{y},\hat{a}_{z}\}.
Passo 2
Primeiro calculemos os fatores que aparecem diretamente em \vec{A} usando x,y,z do ponto:
x=-2,\qquad y=3,\qquad z=4.
Portanto
x^{2}=(-2)^{2}=4, \qquad 2yz=2\cdot 3\cdot 4=24.
Passo 3
Temos fatores trigonométricos \cos\theta e \sin\varphi. Aqui adotamos a convenção esférica padrão (física): \theta é o ângulo polar medido a partir do eixo z (colatitude) e \varphi é o ângulo azimutal no plano xy (medido a partir do eixo x). Nessa convenção usam-se os versores \hat{a}_{R} (radial) e \hat{a}_{\theta} (direção de variação de \theta). Vou usar as fórmulas padrão que relacionam coordenadas cartesianas e funções trigonométricas esféricas:
Definições úteis (para um ponto com coordenadas cartesianas x,y,z):
(Explico: \hat{a}_{R} aponta radialmente e \hat{a}_{\theta} aponta na direção de aumento de \theta; essas expressões são as fórmulas padrão de conversão.)
Passo 4
Calculemos r, \rho e as funções trigonométricas no ponto x=-2,y=3,z=4:
Isto já é uma resposta perfeitamente válida: substituímos x,y,z, \cos\theta e \sin\varphi.
Passo 6
Se for útil (por exemplo para usar em um cálculo que exige componentes cartesianas), convertemos \vec{A} para a base cartesiana usando as expressões dos versores.
Primeiro calculemos os componentes numéricos dos versores com os valores encontrados: