Prove que a matriz da transformação cartesiana-esférica, \tilde{T}(\theta, \varphi), é unitária. Ou seja, prove que seu determinante é igual a 1 e que sua inversa é igual a sua transposta.
Estratégia e ideia principal (apresentada de forma curta antes de executar): se as colunas v_1,v_2,v_3 são ortonormais (isto é, cada uma tem norma 1 e são mutuamente ortogonais), então
\tilde{T}^{T}\tilde{T}=I,
o que implica que \tilde{T}^{-1}=\tilde{T}^{T}. Além disso, para matrizes reais ortogonais o determinante vale \pm1; calcular diretamente o produto vetorial v_1\cdot(v_2\times v_3) (produto misto) dará o sinal e o valor de \det(\tilde{T}). Vou então: (i) mostrar que cada v_i tem norma 1; (ii) mostrar que os produtos internos v_i\cdot v_j=0 para i\neq j; (iii) calcular \det via produto misto.
Passo 3
Normas das colunas: calcular v_1\cdot v_1, v_2\cdot v_2, v_3\cdot v_3.
Conclusão sobre ortonormalidade e inversa: dos Passos 3 e 4 temos que v_1,v_2,v_3 formam um conjunto ortonormal de colunas. Isso é exatamente a condição para que
\tilde{T}^{T}\tilde{T}=I,
portanto \tilde{T}^{-1}=\tilde{T}^{T}. Em palavras: a transposta é a inversa porque as colunas são ortonormais.
Explicação rápida do porquê (didática): para uma matriz real A cujas colunas são vetores ortonormais u_i, a componente (A^{T}A)_{ij}=u_i\cdot u_j, que é 1 se i=j e 0 se i\neq j; assim A^{T}A=I, que significa A^{-1}=A^{T}.
Passo 6
Cálculo do determinante usando produto misto (produto escalar de uma coluna pelo produto vetorial das outras): \det(\tilde{T})=v_1\cdot(v_2\times v_3).
Vou calcular v_2\times v_3. Com v_2=(\sin\theta\sin\varphi,\\ \cos\theta\sin\varphi,\\ \cos\varphi) e v_3=(\cos\theta,\\\ -\sin\theta,\\\ 0), o produto vetorial dá, componente a componente,
Conclusão final (síntese): as colunas são ortonormais, então \tilde{T}^{T}\tilde{T}=I e \tilde{T}^{-1}=\tilde{T}^{T}. O determinante calculado pelo produto misto é 1. Assim \tilde{T}(\theta,\varphi) é uma matriz ortogonal de determinante +1 (às vezes chamada de matriz de rotação ou, em linguagem complexa, unitária no caso real especial).