Prove que a matriz da transformação cartesiana-esférica, \tilde{T}(\theta, \varphi), é unitária. Ou seja, prove que seu determinante é igual a 1 e que sua inversa é igual a sua transposta.
\tilde{T}(\theta, \varphi)=\left[\begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \varphi & \sin \theta \sin \varphi & \cos \theta \\\ \cos \theta \cos \varphi & \cos \theta \sin \varphi & -\sin \theta \\\\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a matriz
\tilde{T}(\theta,\varphi)=\begin{bmatrix} \sin\theta\cos\varphi & \sin\theta\sin\varphi & \cos\theta \\\ \cos\theta\cos\varphi & \cos\theta\sin\varphi & -\sin\theta \\\\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0 \end{bmatrix}\!.
As perguntas são:
  • Provar que \det\!\big(\tilde{T}(\theta,\varphi)\big)=1.
  • Provar que \tilde{T}(\theta,\varphi)^{-1}=\tilde{T}(\theta,\varphi)^{T}.
Informações dadas (elementos da matriz) que serão usadas explicitamente: as três colunas da matriz, que chamarei de v_1,v_2,v_3:
v_1=\begin{pmatrix}\sin\theta\cos\varphi\\[2pt]\cos\theta\cos\varphi\\[2pt]-\sin\varphi\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}\sin\theta\sin\varphi\\[2pt]\cos\theta\sin\varphi\\[2pt]\cos\varphi\end{pmatrix},\qquad v_3=\begin{pmatrix}\cos\theta\\[2pt]-\sin\theta\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 2

Estratégia e ideia principal (apresentada de forma curta antes de executar): se as colunas v_1,v_2,v_3 são ortonormais (isto é, cada uma tem norma 1 e são mutuamente ortogonais), então
\tilde{T}^{T}\tilde{T}=I,
o que implica que \tilde{T}^{-1}=\tilde{T}^{T}. Além disso, para matrizes reais ortogonais o determinante vale \pm1; calcular diretamente o produto vetorial v_1\cdot(v_2\times v_3) (produto misto) dará o sinal e o valor de \det(\tilde{T}). Vou então: (i) mostrar que cada v_i tem norma 1; (ii) mostrar que os produtos internos v_i\cdot v_j=0 para i\neq j; (iii) calcular \det via produto misto.

Passo 3

Normas das colunas: calcular v_1\cdot v_1, v_2\cdot v_2, v_3\cdot v_3.
Calculemos v_1\cdot v_1:
v_1\cdot v_1=(\sin\theta\cos\varphi)^2+(\cos\theta\cos\varphi)^2+(-\sin\varphi)^2.
Agrupando termos com \cos^2\varphi:
v_1\cdot v_1=\cos^2\varphi\big(\sin^2\theta+\cos^2\theta\big)+\sin^2\varphi.
Como \sin^2\theta+\cos^2\theta=1, segue
v_1\cdot v_1=\cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1.
Agora v_2\cdot v_2:
v_2\cdot v_2=(\sin\theta\sin\varphi)^2+(\cos\theta\sin\varphi)^2+(\cos\varphi)^2 =\sin^2\varphi\big(\sin^2\theta+\cos^2\theta\big)+\cos^2\varphi=1.
Finalmente v_3\cdot v_3:
v_3\cdot v_3=\cos^2\theta+(-\sin\theta)^2+0^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.
Portanto cada coluna tem norma 1.

Passo 4

Ortogonalidade entre colunas: calcular os produtos internos v_1\cdot v_2, v_1\cdot v_3 e v_2\cdot v_3.
Calcule v_1\cdot v_2:
v_1\cdot v_2=(\sin\theta\cos\varphi)(\sin\theta\sin\varphi)+(\cos\theta\cos\varphi)(\cos\theta\sin\varphi)+(-\sin\varphi)(\cos\varphi).
Fatorando \cos\varphi\sin\varphi nos dois primeiros termos:
v_1\cdot v_2=\cos\varphi\sin\varphi\big(\sin^2\theta+\cos^2\theta\big)-\sin\varphi\cos\varphi.
Usando \sin^2\theta+\cos^2\theta=1:
v_1\cdot v_2=\cos\varphi\sin\varphi-\sin\varphi\cos\varphi=0.
Calcule v_1\cdot v_3:
v_1\cdot v_3=(\sin\theta\cos\varphi)(\cos\theta)+(\cos\theta\cos\varphi)(-\sin\theta)+(-\sin\varphi)(0).
Os dois primeiros termos se cancelam:
v_1\cdot v_3=\cos\varphi(\sin\theta\cos\theta-\cos\theta\sin\theta)=0.
Calcule v_2\cdot v_3:
v_2\cdot v_3=(\sin\theta\sin\varphi)(\cos\theta)+(\cos\theta\sin\varphi)(-\sin\theta)+(\cos\varphi)(0) =\sin\varphi(\sin\theta\cos\theta-\cos\theta\sin\theta)=0.
Logo, as colunas são mutuamente ortogonais.

Passo 5

Conclusão sobre ortonormalidade e inversa: dos Passos 3 e 4 temos que v_1,v_2,v_3 formam um conjunto ortonormal de colunas. Isso é exatamente a condição para que
\tilde{T}^{T}\tilde{T}=I,
portanto \tilde{T}^{-1}=\tilde{T}^{T}. Em palavras: a transposta é a inversa porque as colunas são ortonormais.
Explicação rápida do porquê (didática): para uma matriz real A cujas colunas são vetores ortonormais u_i, a componente (A^{T}A)_{ij}=u_i\cdot u_j, que é 1 se i=j e 0 se i\neq j; assim A^{T}A=I, que significa A^{-1}=A^{T}.

Passo 6

Cálculo do determinante usando produto misto (produto escalar de uma coluna pelo produto vetorial das outras): \det(\tilde{T})=v_1\cdot(v_2\times v_3).
Vou calcular v_2\times v_3. Com v_2=(\sin\theta\sin\varphi,\\ \cos\theta\sin\varphi,\\ \cos\varphi) e v_3=(\cos\theta,\\\ -\sin\theta,\\\ 0), o produto vetorial dá, componente a componente,
v_2\times v_3=\begin{pmatrix} (\cos\theta\sin\varphi)\cdot 0 - (\cos\varphi)(-\sin\theta)\\[4pt] (\cos\varphi)(\cos\theta) - (\sin\theta\sin\varphi)\cdot 0\\[4pt] (\sin\theta\sin\varphi)(-\sin\theta) - (\cos\theta\sin\varphi)(\cos\theta) \end{pmatrix}.
Simplificando cada componente:
v_2\times v_3=\begin{pmatrix} \cos\varphi\sin\theta\\[4pt] \cos\varphi\cos\theta\\[4pt] -\sin\varphi\big(\sin^2\theta+\cos^2\theta\big) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi\\[4pt] \cos\theta\cos\varphi\\[4pt] -\sin\varphi \end{pmatrix}.
Observe que esse vetor é exatamente v_1. Portanto
v_2\times v_3=v_1.
Assim o produto misto é
\det(\tilde{T})=v_1\cdot(v_2\times v_3)=v_1\cdot v_1=1.]

Passo 7

Conclusão final (síntese): as colunas são ortonormais, então \tilde{T}^{T}\tilde{T}=I e \tilde{T}^{-1}=\tilde{T}^{T}. O determinante calculado pelo produto misto é 1. Assim \tilde{T}(\theta,\varphi) é uma matriz ortogonal de determinante +1 (às vezes chamada de matriz de rotação ou, em linguagem complexa, unitária no caso real especial).

Resposta

\det\!\big(\tilde{T}(\theta,\varphi)\big)=1
\tilde{T}(\theta,\varphi)^{-1}=\tilde{T}(\theta,\varphi)^{T}

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