Calcule o valor de x :
\log _{2} 64^{x}=3

Passo 1

O enunciado dá a equação
\log_{2} 64^{x} = 3
e pede para calcular o valor de x.
Informações relevantes que temos:
  • a base do logaritmo é 2;
  • o argumento do logaritmo é 64^{x};
  • o resultado (lado direito) é 3.

Passo 2

Reconhecer potências: saber escrever 64 como potência de 2 facilita muito. Como
2^{6} = 64,
podemos substituir 64 por 2^{6}.

Passo 3

Substituindo na expressão, obtemos
64^{x} = (2^{6})^{x}.
Usamos agora a propriedade das potências (a^{b})^{c} = a^{b c}. Aplicando-a:
(2^{6})^{x} = 2^{6x}.

Passo 4

Portanto a equação original vira
\log_{2} 2^{6x} = 3.
Agora usamos a definição/fato fundamental dos logaritmos: para qualquer base b>0, b\neq1, vale
\log_{b} b^{y} = y,
porque \log_{b} A = C significa, por definição, que b^{C}=A. Aplicando isso ao nosso caso com b=2 e y=6x, temos
\log_{2} 2^{6x} = 6x.

Passo 5

Assim obtemos a equação simples
6x = 3.
Resolvendo para x:
x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.

Passo 6

Cheque rápido (boa prática na prova): substituir x=\tfrac{1}{2} em 64^{x}:
64^{1/2} = \sqrt{64} = 8,
e \log_{2} 8 = 3 porque 2^{3}=8. A igualdade é satisfeita.

Resposta

x=\dfrac{1}{2}

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