Calcule as expressões:
\log _{8} 2^{-3}=

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor de \log_{8} 2^{-3}.
O que foi dado:
  • a base do logaritmo é 8;
  • o argumento é 2^{-3}.

Passo 2

Definição e ideia chave (aula rápida): por definição de logaritmo, para a>0, a\neq1, e b>0,
\log_{a} b = x \quad\Longleftrightarrow\quad a^{x}=b.
Ou seja, \log_{a} b é o expoente que se dá à base a para obter b.
Exemplo simples: \log_{10}100=2 porque 10^{2}=100.

Passo 3

Use a definição aplicando ao nosso problema. Seja
x=\log_{8}2^{-3}.
Pela definição, isso significa
8^{x}=2^{-3}.

Passo 4

Transformar a base 8 em potência de 2: 8=2^{3}. Substituindo em 8^{x} obtém-se
(2^{3})^{x}=2^{-3}.
Pela propriedade das potências, (2^{3})^{x}=2^{3x}. Então temos
2^{3x}=2^{-3}.
Como as potências de 2 são iguais, os expoentes devem ser iguais:
3x=-3.
Resolvendo para x:
x=\frac{-3}{3}=-1.

Passo 5

Verificação rápida: 8^{-1}=\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2^{3}}=2^{-3}, consistente com o resultado. Alternativa curta usando propriedade de logaritmos: \log_{2^{3}}2^{-3}=\dfrac{-3}{3}=-1.

Resposta

-1

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