Calcule os valores abaixo onde os ângulos estão dados em radianos. Relembre os senos e cossenos fundamentais e também as expressões com somas de arcos.
\operatorname{sen}(\pi / 6), \cos (5 \pi / 12)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \sin(\pi/6) e \cos(5\pi/12). O conteúdo envolve os valores fundamentais de seno e cosseno em ângulos como \pi/6 e \pi/4, além da fórmula de cosseno de soma:
\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b).

Passo 2

Para \sin(\pi/6), lembrando a tabela de valores fundamentais:
\sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Para \cos(5\pi/12), note que
\tfrac{5\pi}{12}=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{6}.
Assim usaremos
\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{6}\Bigr) =\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) -\sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)\sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Passo 4

Sabendo que
\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2},\quad \cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{1}{2},
substituímos:
\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{6}\Bigr) =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4} =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.

Resposta

\sin(\pi/6)=\tfrac{1}{2} \cos(5\pi/12)=\tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

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