Calcule os valores de $a$ para os quais o sistema $\left\{\begin{array}{c}a^{2} x+y-a^{2} z=0 \\\ x-a^{2} y+z=0 \\\ x+y-z=0\end{array}\right.$ admita outras soluções além de $x=y=z=0$ .

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema homogêneo de três equações lineares em

x,y,z

com parâmetro

a

, e pede os valores de

a

para os quais o sistema admite soluções não triviais. Isto é teoria de álgebra linear: um sistema homogêneo tem solução não trivial exatamente quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero.

Passo 2

Vamos escrever a matriz dos coeficientes. Da primeira equação vem a linha

\bigl[a^{2},1,-a^{2}\bigr]

, da segunda

\bigl[1,-a^{2},1\bigr]

e da terceira

\bigl[1,1,-1\bigr]

. Logo,

M = \begin{pmatrix} a^{2} & 1 & -a^{2}\\\\ 1 & -a^{2} & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos

\det M

por expansão na primeira linha:

\det M = a^{2}\det\begin{pmatrix}-a^{2}&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} +(-a^{2})\det\begin{pmatrix}1&-a^{2}\\\ 1&1\end{pmatrix}.

Cada menor é

\det\begin{pmatrix}-a^{2}&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} = a^{2}-1,\quad \det\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} =-2,\quad \det\begin{pmatrix}1&-a^{2}\\\ 1&1\end{pmatrix} =1+a^{2}.

Substituindo,

\det M = a^{2}(a^{2}-1)-1\cdot(-2)-a^{2}(1+a^{2}) = a^{4}-a^{2}+2 -a^{4}-a^{2} =2-2a^{2} =2\bigl(1-a^{2}\bigr).

Passo 4

Para haver solução não trivial precisamos de

\det M=0

. Assim,

2\bigl(1-a^{2}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad 1-a^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad a^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad a=\pm1.

Resposta

a=1

a=-1

Calcule os valores de a para os quais o sistema \left\{\begin{array}{c}a^{2} x+y-a^{2} z=0 \\\ x-a^{2} y+z=0 \\\ x+y-z=0\end{array}\right. admita outras soluções além de x=y=z=0.