Calcule os valores de a para que o sistema $\left\{\begin{array}{c}x+y+z=0 \\\ x+3 y+a z=0 \\\ x+9 y+a^{2} z=0\end{array}\right.$ seja determinado.

O enunciado nos dá o sistema linear

\begin{cases} x + y + z = 0,\\\ x + 3y + a z = 0,\\\ x + 9y + a^{2}z = 0, \end{cases}

e pede os valores de

a

para que o sistema seja determinado (tenha solução única). Vamos usar o cálculo do determinante da matriz de coeficientes e o critério de Cramer.

A matriz dos coeficientes é

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 3 & a\\\\ 1 & 9 & a^{2} \end{pmatrix}.

Pelo critério de Cramer, o sistema tem solução única se, e somente se,

\det(A)\neq 0.

Calculamos o determinante expandindo pela primeira linha:

\det(A) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & a\\\ 9 & a^{2}\end{pmatrix} - 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & a\\\ 1 & a^{2}\end{pmatrix} + 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\\ 1 & 9\end{pmatrix}.

Cada menor vale:

\det\begin{pmatrix}3 & a\\\ 9 & a^{2}\end{pmatrix}=3a^{2}-9a, \quad \det\begin{pmatrix}1 & a\\\ 1 & a^{2}\end{pmatrix}=a^{2}-a, \quad \det\begin{pmatrix}1 & 3\\\ 1 & 9\end{pmatrix}=9-3=6.

Portanto,

\det(A) = (3a^{2}-9a)\;-\;(a^{2}-a)\;+\;6 = 2a^{2}-8a+6 =2\,(a^{2}-4a+3) =2\,(a-1)\,(a-3).

Para o sistema ser determinado, precisamos de

\det(A)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2\,(a-1)\,(a-3)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\neq 1,\;a\neq 3.

a\in\mathbb{R}\setminus\{1,\,3\}

Calcule os valores de a para que o sistema \left\{\begin{array}{c}x+y+z=0 \\\ x+3 y+a z=0 \\\ x+9 y+a^{2} z=0\end{array}\right. seja determinado.