Calcule Z e V para o vapor d(a) Com a equação do tipo virial truncada [Eq. (3.40)], com os seguintes valores experimentais dos coeficientes do tipo virial:
B=-152,5 cm^3 mol^-1 C=-5.800 cm^6 mol^-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o fator de compressibilidade $ Z $ e o volume molar $ V $ para o vapor seco usando a equação virial truncada. Os coeficientes viriais que a gente vai usar são:
Z
Vamos precisar entender como aplicar a equação virial para encontrar $ Z $ e $ V $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação virial. Ela relaciona a pressão $ P $, o volume molar $ V $ e a temperatura $ T $ de um gás real, levando em conta as interações entre as moléculas. A forma truncada da equação virial até o segundo termo é:
P
Mas como temos o coeficiente $ C $, vamos incluir o terceiro termo:
V
Aqui, $ Z $ é o fator de compressibilidade, $ R $ é a constante dos gases ideais, e $ V $ é o volume molar.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar $ Z $ e $ V $. Vamos fazer isso resolvendo a equação virial para $ V $ e depois substituindo em $ Z $. Primeiro, reorganizamos a equação:
Z
Multiplicando ambos os lados por $ V^{2} $, temos:
V
Mas como $ Z = \frac{P V}{R T} $, podemos substituir:
V
Dividindo todos os termos por $ V^{2} $:
Z
Essa é a mesma equação que já tínhamos, então vamos precisar de uma abordagem diferente para resolver para $ V $.

Passo 4

Para resolver essa equação de forma mais simples, podemos assumir que as contribuições de $ B $ e $ C $ são pequenas comparadas a 1, especialmente se o gás não estiver muito comprimido. Nesse caso, podemos aproximar $ Z \approx 1 $ para uma primeira estimativa.
Com $ Z \approx 1 $, a equação simplifica para:
B
Subtraindo 1 de ambos os lados:
C
Multiplicando por $ V^{2} $:
Z approx 1
Resolvendo para $ V $:
Z approx 1

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores de $ B $ e $ C $:
B
Calculando:
C

Passo 6

Com o volume molar $ V $ estimado, podemos agora calcular o fator de compressibilidade $ Z $ usando a equação virial:
V
Substituindo os valores:
Z
Calculando cada termo:
Z = 1 + BV + CV^2
Z = 1 + -152,538,04 + -5.800(38,04)^2
Então:
-152,538,04 approx -4,01
Esse valor negativo de $ Z $ não faz sentido físico, o que indica que nossa aproximação inicial $ Z \approx 1 $ pode não ser válida para essas condições.

Passo 7

Para obter uma solução mais precisa, precisamos resolver a equação virial completa numericamente. No entanto, para simplificar, vamos assumir que o termo de $ C $ pode ser desprezado inicialmente, ajustando $ Z $ posteriormente.
Assim, com $ C $ desprezado:
C
Substituindo $ V $ que encontramos:
Z
Ainda temos um $ Z $ negativo, o que confirma que a aproximação não é adequada. Isso sugere que as interações representadas por $ B $ e $ C $ são bastante fortes e que a equação virial truncada não é suficiente para descrever o comportamento do vapor nessas condições.

Resposta

Não foi possível determinar valores físicos consistentes para $ Z $ e $ V $ utilizando a equação virial truncada com os coeficientes fornecidos, indicando que a aproximação utilizada não é adequada para as condições consideradas.

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