Calcule
e verifique se o método converge no intervalo
.
Dica: A função
é decrescente em [ 1,2 ]. Use essa informação para localizar o maior valor de
no intervalo e concluir sobre a convergência.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular
. - Verificar se o método de iteração de ponto fixo
converge no intervalo .
Informações fornecidas / observações úteis:
- A dica indica que
e que é decrescente em . - O intervalo de verificação é
.
Passo 2
Identificar
(implícito pela forma de
) e aplicar a regra da cadeia para derivar. Tomar
Para derivar uma função da forma
usa-se a regra da cadeia: se
então
Aqui
e
. Substituindo,
Passo 3
Verificar monotonicidade de
para fundamentar onde ocorre o máximo de
. Calcular
:
Como
para todo
, conclui-se que
em
, ou seja,
é de fato decrescente no intervalo (confirmando a dica).
Passo 4
Determinar o maior valor de
em
. Como
é decrescente e positiva em
(pois
), o máximo ocorre no extremo esquerdo
. Logo
Podemos simplificar exatamente:
Valor numérico aproximado:
Passo 5
Verificar condição de mapeamento do intervalo (necessária para aplicar o teorema do ponto fixo): calcular
e
.
Como
e
é contínua, tem-se
. Ou seja, a iteração não sai do intervalo.
Passo 6
Concluir sobre a convergência. Para o método de iteração de ponto fixo, uma condição suficiente de convergência em
é que
seja contínua em
,
e exista
tal que
para todo
. Aqui encontramos
e já verificamos
. Portanto
é um contratante em
e o método de iteração converge (linearmente) para o único ponto fixo em
a partir de qualquer valor inicial em
.
Resposta
O método converge no intervalo