Calcule \varphi^{\prime}(x) e verifique se o método converge no intervalo [1,2].
Dica: A função g(x)=\varphi^{\prime}(x)=\frac{2}{3}(2 x+2)^{-2 / 3} é decrescente em [ 1,2 ]. Use essa informação para localizar o maior valor de |g(x)| no intervalo e concluir sobre a convergência.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular \varphi^{\prime}(x).
  • Verificar se o método de iteração de ponto fixo x_{n+1}=\varphi(x_n) converge no intervalo [1,2].
Informações fornecidas / observações úteis:
  • A dica indica que \displaystyle g(x)=\varphi^{\prime}(x)=\frac{2}{3}(2x+2)^{-2/3} e que g é decrescente em [1,2].
  • O intervalo de verificação é [1,2].

Passo 2

Identificar \varphi(x) (implícito pela forma de g) e aplicar a regra da cadeia para derivar. Tomar
\varphi(x)=(2x+2)^{1/3}.
Para derivar uma função da forma u(x)^{1/3} usa-se a regra da cadeia: se \varphi(x)=u(x)^{1/3} então
\varphi'(x)=\frac{1}{3}u(x)^{-2/3}\,u'(x).
Aqui u(x)=2x+2 e u'(x)=2. Substituindo,
\varphi'(x)=\frac{1}{3}(2x+2)^{-2/3}\cdot 2=\frac{2}{3}(2x+2)^{-2/3}.

Passo 3

Verificar monotonicidade de g(x)=\varphi'(x) para fundamentar onde ocorre o máximo de |g(x)|. Calcular g'(x):
g'(x)=\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)(2x+2)^{-5/3}\cdot 2=\left(-\frac{8}{9}\right)(2x+2)^{-5/3}.
Como (2x+2)^{-5/3}>0 para todo x\in[1,2], conclui-se que g'(x)<0 em [1,2], ou seja, g é de fato decrescente no intervalo (confirmando a dica).

Passo 4

Determinar o maior valor de |g(x)| em [1,2]. Como g é decrescente e positiva em [1,2] (pois (2x+2)^{-2/3}>0), o máximo ocorre no extremo esquerdo x=1. Logo
\max_{x\in[1,2]}|g(x)|=g(1)=\frac{2}{3}(2\cdot 1+2)^{-2/3}=\frac{2}{3}\cdot 4^{-2/3}.
Podemos simplificar exatamente:
4^{-2/3}=2^{-4/3}\quad\Rightarrow\quad g(1)=\frac{2}{3}\,2^{-4/3}=\frac{2^{-1/3}}{3}=\frac{1}{3\cdot 2^{1/3}}.
Valor numérico aproximado:
g(1)\approx 0{,}2646.

Passo 5

Verificar condição de mapeamento do intervalo (necessária para aplicar o teorema do ponto fixo): calcular \varphi(1) e \varphi(2).
\varphi(1)=4^{1/3}\approx 1{,}5874,\qquad \varphi(2)=6^{1/3}\approx 1{,}8171.
Como \varphi(1),\varphi(2)\in[1,2] e \varphi é contínua, tem-se \varphi([1,2])\subset[1,2]. Ou seja, a iteração não sai do intervalo.

Passo 6

Concluir sobre a convergência. Para o método de iteração de ponto fixo, uma condição suficiente de convergência em [1,2] é que \varphi seja contínua em [1,2], \varphi([1,2])\subset[1,2] e exista k<1 tal que |\varphi'(x)|\le k para todo x\in[1,2]. Aqui encontramos
\max_{x\in[1,2]}|\varphi'(x)|=\frac{1}{3\cdot 2^{1/3}}\approx 0{,}2646<1,
e já verificamos \varphi([1,2])\subset[1,2]. Portanto \varphi é um contratante em [1,2] e o método de iteração converge (linearmente) para o único ponto fixo em [1,2] a partir de qualquer valor inicial em [1,2].

Resposta

\varphi'(x)=\dfrac{2}{3}(2x+2)^{-2/3}
O método converge no intervalo [1,2] pois \displaystyle \max_{x\in[1,2]}|\varphi'(x)|=\frac{1}{3\cdot 2^{1/3}}\approx0{,}2646<1.

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