Terceira Questão (
pts): Seja
uma curva fechada e
uma função escalar contínua ao longo de
. Sendo
o parâmetro comprimento de arco, considere que
Assinale Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta.
(a) Como
é o comprimento de
, seu valor é necessariamente positivo.
(b) Como
é uma curva fechada,
é necessariamente igual a zero.
(c) Se
é a curva obtida ao percorrermos
duas vezes, no sentido oposto ao de
, então necessariamente
(a) Como
(b) Como
(c) Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é uma curva fechada. -
é uma função escalar contínua ao longo de . -
é o parâmetro comprimento de arco ao longo de . - Está definido
As perguntas a responder são (cada uma como Verdadeiro ou Falso, com justificativa):
(a) Como é o comprimento de
, seu valor é necessariamente positivo.
(b) Como é uma curva fechada,
é necessariamente igual a zero.
(c) Se é a curva obtida ao percorrermos
duas vezes, no sentido oposto ao de
, então necessariamente
(a) Como
(b) Como
(c) Se
Passo 2
Relembrando o significado da integral de uma função escalar em relação ao comprimento de arco: se
tem uma parametrização por comprimento de arco
com
(aqui
é o comprimento total de
), então, pela definição,
Dicas importantes que usarei:
- O diferencial
é não negativo; é o incremento do comprimento. Em parametrização por tempo com não necessariamente unitário, tem-se . - A integranda é
. Se for negativa em parte ou em toda a curva, a integral pode ser negativa; se for positiva em toda a curva, a integral será positiva; se muda de sinal, a integral pode ser qualquer coisa (positiva, negativa ou zero). Portanto o sinal de depende de , não só do fato de a curva ser fechada.
Passo 3
A afirmação diz que
é o comprimento de
, logo necessariamente positivo. Isso está incorreto: somente quando
ao longo de
temos
Em geral
pode ser negativa, nula ou positiva. Por exemplo, escolha
ao longo de
. Então, parametrizando por comprimento de arco com
,
Portanto
não precisa ser positivo. Conclusão: a afirmação (a) é Falsa.
Passo 4
A afirmação diz que por
ser fechada temos
. Não existe nenhuma propriedade geral que faça
anular-se só porque a curva é fechada. A fechadura da curva implica
para uma parametrização por comprimento de arco, mas a integral de uma função escalar em relação a
não depende da condição de fechamento: é apenas a integral ao longo do intervalo
da função
. Novamente um contraexemplo simples mostra a falsidade: se
em
, então
Logo (b) é Falsa.
Passo 5
Agora consideremos
que percorre
duas vezes, no sentido oposto. Para sermos formais, suponha
parametrizada por comprimento de arco
,
. Uma parametrização do percurso de
no sentido oposto é
,
. Verifico a integral ao longo do percurso inverso:
Fazendo a mudança de variável
(o que inverte os limites, mas o
vira
; no fim isso se anula porque os limites se trocam), obtém-se
Ou seja, percorrer a curva no sentido oposto não muda o valor da integral escalar com respeito a
: a integral é independente da orientação porque
é positivo e depende só do comprimento, não do sinal. Agora, se
percorre
duas vezes no sentido oposto, o integrando sobre
é simplesmente a soma das integrais das duas voltas iguais, então
e não
. Portanto a afirmação
é falsa. Conclusão: (c) é Falsa.
Passo 6
- A integral
mede uma soma ponderada por comprimento; o sinal e o valor dependem de , não do fato de a curva ser fechada. - A orientação da parametrização NÃO altera a integral escalar em relação a
(ao contrário do que ocorre para integrais de linha de campos vetoriais com produto escalar por ). - Repetir o percurso
vezes multiplica a integral por .
Resposta
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(b) Falso
(c) Falso