Terceira Questão ( \mathbf{1 , 5} pts): Seja C uma curva fechada e f uma função escalar contínua ao longo de C. Sendo s o parâmetro comprimento de arco, considere que
\int_{C} f d s=A
Assinale Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta.
(a) Como A é o comprimento de C, seu valor é necessariamente positivo.
(b) Como C é uma curva fechada, A é necessariamente igual a zero.
(c) Se \gamma é a curva obtida ao percorrermos C duas vezes, no sentido oposto ao de C, então necessariamente
\int_{\gamma} f d s=-2 A

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • C é uma curva fechada.
  • f é uma função escalar contínua ao longo de C.
  • s é o parâmetro comprimento de arco ao longo de C.
  • Está definido
\int_{C} f\,d s = A.
As perguntas a responder são (cada uma como Verdadeiro ou Falso, com justificativa):
(a) Como A é o comprimento de C, seu valor é necessariamente positivo.
(b) Como C é uma curva fechada, A é necessariamente igual a zero.
(c) Se \gamma é a curva obtida ao percorrermos C duas vezes, no sentido oposto ao de C, então necessariamente
\int_{\gamma} f\,d s = -2A.

Passo 2

Relembrando o significado da integral de uma função escalar em relação ao comprimento de arco: se C tem uma parametrização por comprimento de arco r(s) com s\in[0,L] (aqui L é o comprimento total de C), então, pela definição,
\int_{C} f\,d s = \int_{0}^{L} f\bigl(r(s)\bigr)\,d s.
Dicas importantes que usarei:
  • O diferencial d s é não negativo; é o incremento do comprimento. Em parametrização por tempo t com r'(t) não necessariamente unitário, tem-se d s = \lvert r'(t)\rvert\,dt.
  • A integranda é f\bigl(r(s)\bigr). Se f for negativa em parte ou em toda a curva, a integral pode ser negativa; se f for positiva em toda a curva, a integral será positiva; se f muda de sinal, a integral pode ser qualquer coisa (positiva, negativa ou zero). Portanto o sinal de \int_C f\,d s depende de f, não só do fato de a curva ser fechada.

Passo 3

A afirmação diz que A é o comprimento de C, logo necessariamente positivo. Isso está incorreto: somente quando f\equiv 1 ao longo de C temos
\int_{C} f\,d s = \int_{C} 1\,d s = \text{comprimento}\text{(C)}.
Em geral f pode ser negativa, nula ou positiva. Por exemplo, escolha f\equiv -1 ao longo de C. Então, parametrizando por comprimento de arco com s\in[0,L],
\int_{C} f\,d s = \int_{0}^{L} (-1)\,d s = -L < 0.
Portanto A não precisa ser positivo. Conclusão: a afirmação (a) é Falsa.

Passo 4

A afirmação diz que por C ser fechada temos A=0. Não existe nenhuma propriedade geral que faça \int_C f\,d s anular-se só porque a curva é fechada. A fechadura da curva implica r(0)=r(L) para uma parametrização por comprimento de arco, mas a integral de uma função escalar em relação a d s não depende da condição de fechamento: é apenas a integral ao longo do intervalo [0,L] da função s\mapsto f(r(s)). Novamente um contraexemplo simples mostra a falsidade: se f\equiv 1 em C, então
\int_{C} f\,d s = \int_{0}^{L} 1\,d s = L \neq 0.
Logo (b) é Falsa.

Passo 5

Agora consideremos \gamma que percorre C duas vezes, no sentido oposto. Para sermos formais, suponha C parametrizada por comprimento de arco r(s), s\in[0,L]. Uma parametrização do percurso de C no sentido oposto é r_{\mathrm{rev}}(s)=r(L-s), s\in[0,L]. Verifico a integral ao longo do percurso inverso:
\int_{C\\ \text{(invertida)}} f\,d s = \int_{0}^{L} f\bigl(r(L-s)\bigr)\,d s.
Fazendo a mudança de variável u=L-s (o que inverte os limites, mas o d s vira -du; no fim isso se anula porque os limites se trocam), obtém-se
\int_{0}^{L} f\bigl(r(L-s)\bigr)\,d s = \int_{L}^{0} f\bigl(r(u)\bigr)\,(-du) = \int_{0}^{L} f\bigl(r(u)\bigr)\,du = \int_{0}^{L} f\bigl(r(s)\bigr)\,d s = A.
Ou seja, percorrer a curva no sentido oposto não muda o valor da integral escalar com respeito a d s: a integral é independente da orientação porque d s é positivo e depende só do comprimento, não do sinal. Agora, se \gamma percorre C duas vezes no sentido oposto, o integrando sobre \gamma é simplesmente a soma das integrais das duas voltas iguais, então
\int_{\gamma} f\,d s = 2A,
e não -2A. Portanto a afirmação \int_{\gamma} f\,d s = -2A é falsa. Conclusão: (c) é Falsa.

Passo 6

  • A integral \int_C f\,d s mede uma soma ponderada por comprimento; o sinal e o valor dependem de f, não do fato de a curva ser fechada.
  • A orientação da parametrização NÃO altera a integral escalar em relação a d s (ao contrário do que ocorre para integrais de linha de campos vetoriais com produto escalar por dr).
  • Repetir o percurso n vezes multiplica a integral por n.

Resposta

(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso

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