Calcule a velocidade da luz no diamante, sabendo que ele tem uma constante dielétrica relativa (nas frequências do visível) de 5,5 e uma suscetibilidade magnética de 1.257 \times 10^{-6} \mathrm{H} / \mathrm{m}
R: 1,28 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a velocidade da luz dentro do diamante.
Dados fornecidos: \varepsilon_{\text{r}}=5,5 (constante dielétrica relativa do diamante nas frequências do visível) e um valor \mu_0=1,257\times10^{-6}\\ \mathrm{H}/\mathrm{m} (o enunciado chamou de “suscetibilidade magnética”, mas esse valor tem as unidades e magnitude da permeabilidade do vácuo).

Passo 2

Fórmula básica que liga a velocidade da luz no meio às propriedades elétricas e magnéticas do meio:
v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\,\mu}}
Explicando cada símbolo:
  • v é a velocidade da luz no meio (em \mathrm{m}/\mathrm{s}).
  • \varepsilon é a permissividade elétrica do meio (em \mathrm{F}/\mathrm{m}).
  • \mu é a permeabilidade magnética do meio (em \mathrm{H}/\mathrm{m}).
Relacionamento entre constantes relativas e as constantes do vácuo:
\varepsilon=\varepsilon_{\text{r}}\varepsilon_{0} \qquad\text{e}\qquad \mu=\mu_{\text{r}}\mu_{0}
onde:
  • \varepsilon_{\text{r}} é a constante dielétrica relativa (nos foi dada \varepsilon_{\text{r}}=5,5).
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo, \varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H}/\mathrm{m}\approx1{,}256637061\times10^{-6}\\ \mathrm{H}/\mathrm{m}. O enunciado fornece 1{,}257\times10^{-6}\\ \mathrm{H}/\mathrm{m}, que coincide com \mu_{0}.
  • \mu_{\text{r}} é a permeabilidade relativa do material; para materiais não magnéticos (como o diamante) costuma-se tomar \mu_{\text{r}}\approx1. Aqui faremos essa aproximação porque o diamante é essencialmente não magnético nessa faixa de frequência.

Passo 3

Substituindo \varepsilon e \mu na fórmula de v:
v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{r}}\varepsilon_{0}\,\mu_{\text{r}}\mu_{0}}}
Agrupando \varepsilon_{0}\mu_{0} e lembrando que a velocidade da luz no vácuo é c_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}}, obtemos a forma útil
v=\frac{c_{0}}{\sqrt{\varepsilon_{\text{r}}\mu_{\text{r}}}}.
Aqui c_{0} é aproximadamente 2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}. Como assumimos \mu_{\text{r}}\approx1 para o diamante, isso simplifica para
v=\frac{c_{0}}{\sqrt{\varepsilon_{\text{r}}}}.

Passo 4

Calcule a raiz quadrada de \varepsilon_{\text{r}}:
\sqrt{\varepsilon_{\text{r}}}=\sqrt{5{,}5}\approx2{,}34520788.

Passo 5

Agora dividimos c_{0} por essa raiz:
v=\frac{2{,}99792458\times10^{8}}{2{,}34520788}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx1{,}27888\times10^{8}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 6

Arredondando para duas casas significativas (conveniente para provas) e escrevendo com a vírgula no formato brasileiro:
v\approx1,28\times10^{8}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Resposta

1,28\times10^{8}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados