Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
Calcule as integrais
\int \cos 7 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \cos(7t)\,dt
e depois verificar o resultado por derivação. O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas, que aqui vamos tratar por substituição simples.

Passo 2

Vamos usar a substituição
u = 7t \quad\Longrightarrow\quad du = 7\,dt \quad\Longrightarrow\quad dt = \frac{1}{7}\,du.
Substituindo na integral original:
\int \cos(7t)\,dt = \int \cos(u)\,\frac{1}{7}\,du = \frac{1}{7}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{7}\sin(u) + C = \frac{1}{7}\sin(7t) + C.

Passo 3

Para verificar, derivamos
F(t) = \frac{1}{7}\sin(7t) + C.
Calculando F'(t):
F'(t) = \frac{1}{7}\cdot\cos(7t)\cdot 7 = \cos(7t),
que é exatamente o integrando. A verificação confere.

Resposta

\int \cos(7t)\,dt = \frac{1}{7}\sin(7t) + C.

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